Fai il punto sulle competenze - Limiti notevoli #557893

Per quale valore di

k

risulta

lim_{x \to 0} \frac{(1 - \sin x)^{k} - 1}{(k + 1) x} = - 2

?

A:

k = - 2

B:

k = - \frac{2}{3}

C:

k = \frac{2}{3}

D:

k = 2

Scelta multipla

Considera la figura in cui i lati

A D

e

A C

sono congruenti e misurano

7

, il lato

A B

è lungo

15

e l'angolo

D \hat{A} C

ha ampiezza

x

. Calcola la differenza

D (x)

fra l'area del quadrilatero

A C B D

e quella del triangolo

A C D

in funzione di

x

. Quanto vale il limite di

\frac{D (x)}{x}

per

x \to 0

?

1. Calcoliamo la misura della diagonale

D C

utilizzando i teoremi sui triangoli rettangoli nel triangolo

A H D

:

\bar{D C} = 2 \cdot \bar{D H} = 2 \cdot \bar{A D} \cdot \sin H \hat{A} D =

________

\sin \frac{x}{2}

.

2. Troviamo l'area del quadrilatero

A C B D

che è un deltoide utilizzando le sue diagonali:

A_{A C B D} = \frac{\bar{A B} \cdot \bar{D C}}{2} =

________

\sin \frac{x}{2}

.

3. Calcoliamo l'area del triangolo

A D C

con il teorema del seno:

A_{A D C} = \frac{1}{2} \cdot \bar{A D} \cdot \bar{A C} \cdot \sin C \hat{A} D =

________.

4. Determiniamo la differenza fra l'area di

A C B D

e quella di

A C D

:

D (x) = A_{A C B D} - A_{A D C} =

________.

5. Infine troviamo il valore del limite di

\frac{D (x)}{x}

per

x \to 0

:

lim_{x \to 0} \frac{D (x)}{x} =

105 \cdot lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{x} - \frac{49}{2} \cdot lim_{x \to 0}

________

= 28

.

Completamento chiuso

Considera la funzione

f (x) = {\begin{cases} 1 + \log_{3} (x + 1) - \frac{a}{2} & x < 0 \\ a \cdot \frac{x}{\tan x} & x \geq 0 \end{cases} .

Per quale valore del parametro

a \in R

esiste

lim_{x \to 0} f (x)

?

A:

\frac{2}{3}

B:

\frac{3}{2}

C:

2

D:

3

Scelta multipla

Quanto vale

lim_{x \to 1} \frac{\ln \sqrt{x}}{x - 1}

?

A:

- 1

B:

0

C:

\frac{1}{2}

D:

1

Scelta multipla

Vero o falso?

A:

lim_{x \to 2} \frac{\sin (x - 2)}{x} = 1

B:

lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e

C:

lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{x} = 1

D:

lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + 1) - \sin x}{x} = 1

Vero o falso

Associa a ogni limite il risultato corretto.

lim_{x \to 0} {{(\frac{\tan x}{x})}^{2} [1 + \cos (2 x)]}

________

lim_{x \to - 2^{+}} \frac{x + 2}{\ln (x + 3)^{2}}

________

lim_{x \to 1} \frac{2 - 2^{x}}{4^{x - 1} - 1}

________

lim_{x \to 0} [x \cdot \frac{\sqrt{1 + 3 \sin x} - 1}{\cos x - 1}]

________

Posizionamento

Sapendo che

lim_{x \to 3} f (x) = 0

, quanto vale

lim_{x \to 3} \frac{3 \ln [1 + f (x)]}{f (x)^{2} + 7 f (x)}

?

A:

\frac{1}{7}

B:

\frac{3}{7}

C:

\frac{7}{3}

D:

21

Scelta multipla

Quanto vale

lim_{x \to 0} \frac{x \sqrt{1 - \cos (2 x)}}{\sqrt{2} (1 - \cos x)}

?

A:

0

B:

\frac{1}{2}

C:

1

D:

2

Scelta multipla