Fai il punto sulle competenze - Limiti a +∞ o -∞ per x che tende a +∞ o a -∞

Dato il grafico della funzione $f(x)$ a lato, indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

Dato il grafico della funzione $f(x)$ a lato, associa a ogni limite il valore corretto.

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)}$   ________
${\displaystyle \underset{x\to 3^{-}}{lim}f(x)}$   ________
${\displaystyle \underset{x\to 3^{+}}{lim}f(x)}$   ________
${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)}$   ________

Considera la funzione
$f(x)=\{\begin{array}{cc}2(1-2^{1-x})& x\ge 1\\ \arctan (x-1)& x<1\end{array}$
rappresentata in figura, quanto valgono il ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)}$ e il ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)}$?

Simona lavora su un dispositivo audio affinché esso, al partire di una traccia, aumenti automaticamente il volume da $0$ a $100$ dB in pochi secondi secondo la funzione ${\displaystyle f(t)=100\cdot (1-e^{-\frac{1}{3}t})}$ per $t\ge 0$.
Rappresentandola in un piano cartesiano, deduci il valore del ${\displaystyle \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(t)}$ e verificalo con la definizione. Il volume pari a un'intensità di $100$ dB viene effettivamente raggiunto dal dispositivo audio?

1.   Il grafico della funzione $f(t)$ è quello rappresentato in figura ________.






2.   Deduciamo che il valore del ${\displaystyle \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(t)=}$ ________. Ciò equivale, per la definizione di limite finito per $x$ che tende a $+\mathrm{\infty }$, a:
$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }c>0$: $\mathrm{\forall }x>c$, $|f(t)-$ ________ $|<\epsilon$.

3.   Verifichiamo la definizione risolvendo la disequazione:
${\displaystyle |100(1-e^{-\frac{1}{3}t})-100|<\epsilon }$ $\to$
${\displaystyle e^{-\frac{1}{3}t}<\frac{\epsilon }{100}\to }$ $t$ ________ ${\displaystyle -3\ln \left(\frac{\epsilon }{100}\right)}$,
dove ${\displaystyle -3\ln \left(\frac{\epsilon }{100}\right)>0}$ per $\epsilon$ ________, quindi la definizione è verificata.

4.   Il volume pari ad un'intensità di $100$ dB ________ raggiunto dal dispositivo audio in quanto, al crescere di $t$, il grafico di $s(t)$ si avvicina alla retta di equazione $y=100$ che è un asintoto orizzontale per la funzione.

Quale tra i precedenti è il grafico di una funzione $f(x)$ tale che ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=1^{-}}$ e ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=2^{+}}$?

________

A quale scrittura corrisponde il limite ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=3^{-}}$?