Fai il punto sulle competenze - Le scomposizioni, il teorema e la regola di Ruffini

Per quale valore di $a\in \mathbb{R}$ il polinomio $P(x)=a{x}^2-5ax+8$ è divisibile per il binomio $x+2$?

Vero o falso?
Dato il polinomio $P(x)=2x^3-5x^2+8x-3$:

Scomponi in fattori il seguente polinomio mediante la regola di Ruffini.
$2x^3-5x^2-21x+36$

Cerchiamo i numeri che annullano il polinomio. Tali numeri vanno cercati fra i divisori del ________, ossia $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 4$$\dots$ e tra le frazioni ${\displaystyle \pm \frac{1}{2}}$, ${\displaystyle \pm \frac{3}{2}}$, ${\displaystyle \pm \frac{9}{2}\dots }$

Cerchiamo uno zero del polinomio $P(x)$:
$P(+1)=2-5-21+36=12\ne 0$;
$P(-1)=-2-5+21+36=50\ne 0$;
$P(+2)=16-20-42+36=-10\ne 0$;
$P(-2)=-16-20+42+36=42\ne 0$;
$P(+3)=54-45-63+36=$
________$\ne 0$;
$P(-3)=-54-45+63+36=0$.
Il polinomio è divisibile per $x$________$3$. Calcoliamo il quoziente con la regola di Ruffini:

Quindi
$2x^3-5x^2-21x+36=$
$(x+3)(2x^2-11x+12)$.
Ripetiamo il procedimento di ricerca degli zeri con polinomio quoziente $2x^2-11x+12$. Cerchiamo uno zero tra i divisori del termine noto, ossia $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$$\dots$ e tra le frazioni ${\displaystyle \pm \frac{1}{2}}$, ${\displaystyle \pm \frac{3}{2}}$$\dots$
Sappiamo già che $1$ e $-1$ non sono zeri del polinomio quoziente, perché se $(x-1)$ e $(x+1)$ dividessero il polinomio quoziente allora dovrebbero dividere anche il polinomio originale.

Troviamo che $P($________$4)=0$, quindi $2x^2-11x+12$ è divisibile per $x$________$4$.

Applichiamo di nuovo la regola di Ruffini:

Quindi:
$2x^2-11x+12=(x-4)(2x-3)$.
La scomposizione richiesta è quindi:
$2x^3-5x^2-21x+36=$
$(x$________$3)(2x-3)(x-4)$.

Qual è il prodotto degli zeri del polinomio $x^3+5x^2-4x-20$?

Cerchiamo i numeri che annullano il polinomio. Tali numeri vanno cercati fra i divisori del termine noto, ossia $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 4$, $\pm 5$$\dots$
Cerchiamo uno zero del polinomio $P(x)$:
$P(+1)=1+5-4-20=-18\ne 0$;
$P(-1)=-1+5+4-20=-12\ne 0$;
$P(+2)=8+20-8-20$________$0$.
Il polinomio è divisibile per $x$________$2$. Calcoliamo il quoziente con la regola di Ruffini:

Quindi:
$x^3+5x^2-4x-20=$
$(x-2)(x^2+7x+10)=$
$(x-2)(x+5)(x+2)$.
Le soluzioni sono quindi:
$x=2$, $x=$________$5$ e $x=-2$.
Quindi il prodotto è $x=$________$20$.

Scomponi in fattori il seguente polinomio mediante la regola di Ruffini.
$3x^4+2x^3+2x^2-x$

Raccogliamo a fattore comune $x$:
$x(3x^3+2x^2+2x-1)$.
Cerchiamo i numeri che annullano il polinomio. Tali numeri vanno cercati fra i divisori del termine noto, ossia $\pm 1$ e tra le frazioni ${\displaystyle \pm \frac{1}{3}}$.

Cerchiamo uno zero del polinomio $P(x)$:
$P(+1)=3+2+2-1=6\ne 0$;
$P(-1)=-3+2-2-1=-4\ne 0$;
${\displaystyle P(+\frac{1}{3})=\frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{2}{3}-1=0}$.

Il polinomio è divisibile per $x$________${\displaystyle \frac{1}{3}}$. Calcoliamo il quoziente con la regola di Ruffini:

$3x^3+2x^2+2x-1=$
$(x$________${\displaystyle \frac{1}{3})}$$(3x^2+3x+3)=$
${\displaystyle 3(x-\frac{1}{3})(x^2+x+1)}$.

Ripetiamo il procedimento di ricerca degli zeri con polinomio quoziente $x^2+x+1$. Cerchiamo uno zero tra i divisori del termine noto, ossia $\pm 1$.
Sappiamo già che $1$ e $-1$ non sono zeri del polinomio quoziente, perché se $(x-1)$ e $(x+1)$ dividessero il polinomio quoziente allora dovrebbero dividere anche il polinomio originale.

Quindi il polinomio $x^2+x+1$ è ________.

La scomposizione richiesta è quindi:
$3x^4+2x^3+2x^2-x=$
$x(3x$________$1)$$(x^2+x+1)$.

Clara ha una piramide di legno a base quadrata il cui volume (in cm³) è:
$V=2x^3+2x^2-10x+6$, con $x\in \mathbb{N}$, $x\ge 2$.
Determina la lunghezza dello spigolo $\ell$ di base e dell'altezza $h$ della piramide, sapendo che sono espresse da numeri naturali.
(SUGGERIMENTO Ricorda che il volume della piramide è ${\displaystyle V=\frac{1}{3}{\ell }^{2}h}$.)


Raccogliamo a fattor comune $2$:
$V=2x^3+2x^2-10x+6=$
$2(x^2+x^2-5x+3)$.

Scomponiamo il polinomio con la regola di Ruffini.
Cerchiamo i numeri che annullano il polinomio. Tali numeri vanno cercati fra i divisori del termine noto, ossia $\pm 1$, $\pm 3$.
Cerchiamo uno zero del polinomio $P(x)$:
$P($________$1)=$$1+1-5+3=0$.
Il polinomio è divisibile per $x+1$. Calcoliamo il quoziente con la regola di Ruffini:

La scomposizione richiesta è quindi:
$2(x^3+x^2-5x+3)=$
$2(x-1)(x^2+2x-3)$.
Il polinomio $x^2+2x-3$ è scomponibile in $(x-1)(x$________$3)$.
Quindi $V=2x^3+2x^2-10x+6=$
$2(x-1{)}^2(x+3)$.
Sappiamo che il volume della piramide è dato da ${\displaystyle V=\frac{1}{3}{\ell }^{2}h}$, quindi:
${\displaystyle \frac{1}{3}{\ell }^{2}h=2(x-1{)}^2(x+3)\to }$
${\ell }^{2}h=6(x-1{)}^2(x+3)$.
Quindi
$\ell =(x-1)$ e $h=$________$(x$________$3)$.