Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.verde biennio (3ª edizione) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Le relazioni fra le radici e i coefficienti e la scomposizione di un trinomio

Fai il punto sulle competenze - Le relazioni fra le radici e i coeff e la scomp di un trinomio

9 esercizi

SVOLGI

INFO

Considera l'equazione

14 x^{2} + 13 x - 10 = 0

. Senza risolvere l'equazione, stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere (V) o false (F).

L'equazione ha due soluzioni negative.

L'equazione ha due soluzioni reali e discordi, di cui quella negativa ha valore assoluto minore di quella positiva.

L'equazione ha due soluzioni positive.

L'equazione ha sicuramente una soluzione positiva.

Vero o falso

Quante sono le equazioni di secondo grado del tipo

x^{2} + b x + c = 0

per le quali il prodotto delle radici è

20

e il quadrato della somma delle radici è

100

Una.

Due.

Quattro.

Infinite.

Scelta multipla

Per quali valori di

a

l'equazione

a x^{2} + 3 x - 3 = 0

ha due soluzioni reali e distinte e concordi?

a < 0

a > - \frac{3}{4}

- \frac{3}{4} < a < 0

a < - \frac{3}{4} \lor a > 0

Scelta multipla

Completa le seguenti equazioni in modo che le radici

x_{1}

x_{2}

soddisfino le condizioni indicate sotto.

a.

x^{2} - 7 x +

________

= 0

x_{1} = x_{2}

3 x^{2} + 12 x =

________

x

x_{1} + x_{2} = 6

c. ________

x^{2} + 13 x - 15 = 0

x_{1} x_{2} = 30

13 x^{2} + 12 x =

________

x_{1} x_{2} = \frac{4}{5} (x_{1} + x_{2})

5 x^{2} - 6 x +

________

= 0

x_{1} = \frac{1}{5}

Completamento chiuso

Semplifica la seguente frazione algebrica esplicitando le condizioni di esistenza:

\frac{15 x - 25 x^{2} - 10 x^{3}}{12 - 20 x - 8 x^{2}}

.

Scomponiamo in fattori il denominatore:

12 - 20 x - 8 x^{2} =

- 4 (2 x^{2} + 5 x

________

3) =

- 4 (2 x^{2}

________

6 x - x

________

3) =

- 4 [

________

(x + 3)

________

(x + 3)] =

- 4 (x + 3) (

________

- 1)

.

Le C.E. sono quindi

x \in R

tale che

x \neq - 3 \land x \neq

________.

Fattorizziamo anche il numeratore:

15 x - 25 x^{2} - 10 x^{3} =

________

x (2 x^{2} + 5 x -

________

) =

________

x (x + 3) (2 x - 1)

.

Semplifichiamo quindi la frazione algebrica:

\frac{- 5 x (x + 3) (2 x - 1)}{- 4 (x + 3) (2 x - 1)} =

________.

Completamento chiuso

Le misure dei lati di un rettangolo sono le soluzioni dell'equazione

x^{2} - (k - 6) x - (k - 5) = 0

.
Per quali valori di

k

il perimetro del rettangolo vale

12

k = 6

k = 12

k = 5

∄ k \in R

Scelta multipla

Risolvi l'equazione fratta

\frac{x + 1}{3 x - 5} - \frac{- 6 + 3 x}{3 x^{2} - 11 x + 10} = 4.

Scomponiamo in fattori i denominatori:

3 x - 5

è già di ________ grado;

3 x^{2} - 11 x + 10 =

3 x^{2}

________

6 x

________

5 x + 10 =

3 x (x

________

2)

________

5 (x

________

2) =

(x

________

2) (3 x

________

5)

.
Le C.E. sono quindi

x \in R

tale che

x \neq

________

\land x \neq

________.
Mettiamo tutto a comun denominatore:

\frac{(x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (3 x - 5)} - \frac{- 6 + 3 x}{(x - 2) (3 x - 5)} =

\frac{4 (x - 2) (3 x - 5)}{(x - 2) (3 x - 5)}

.
Semplifichiamo e risolviamo:

x^{2} - x - 2

________

6 - 3 x =

12 x^{2} -

________

x +

________

11 x^{2} - 40 x + 36 = 0

\frac{Δ}{4} = 400 - 396 = 4, x_{1, 2} = \frac{20 \pm 2}{11}

x_{1} = 2, x_{2} = \frac{18}{11} .

x =

________ non è accettabile quindi l'unica soluzione è

x =

________.

Completamento chiuso

Scomponi, quando è possibile, i seguenti trinomi.
a.

7 x^{2} - x + 3

22 x^{2} - 31 x - 3

2 x^{2} - \sqrt{2} x - 2

2 x^{2} + a x - 15 a^{2}

a. Calcoliamo il discriminante

Δ = 1

________

4 \cdot 7 \cdot 3 = - 83 < 0

.
Quindi il trinomio è ________.

b. Calcoliamo il discriminante

Δ = 961

________

4 \cdot 22 \cdot 3 = 1225 > 0

.
Quindi il trinomio è ________.
Risolviamo l'equazione associata e troviamo

x_{1, 2} = \frac{31 \pm 35}{44} \to x_{1} = \frac{3}{2}, x_{2} = - \frac{1}{11}

.
Quindi il trinomio si può scomporre in
________

=

(

________

x - 3) (

________

x + 1)

.

c. Calcoliamo il discriminante

Δ = 2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 18

________

0

.
Quindi il trinomio è riducibile.
Risolviamo l'equazione associata e troviamo

x_{1, 2} = \frac{\sqrt{2} \pm 3 \sqrt{2}}{4} \to

x_{1} = \sqrt{2}, x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}

.
Quindi il trinomio si può scomporre in

2 (x

________

\sqrt{2})

(x

________

\frac{\sqrt{2}}{2}

) =

(x

________

\sqrt{2}) (2 x

________

\sqrt{2})

.

d. Calcoliamo il discriminante

Δ = a^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 15 a^{2} = 121 a^{2} > 0

.
Quindi il trinomio è riducibile.
Risolviamo l'equazione associata e troviamo

x_{1, 2} =

________

\to

x_{1} = \frac{5}{2} a

x_{2} = - 3 a

.
Quindi il trinomio si può scomporre in
________

(

x -

________

)

(

x +

________

)

=

(2 x

________

5 a) (x

________

3 a)

Completamento chiuso

Le misure della base e dell'altezza di un rettangolo sono le soluzioni dell'equazione
$x^{2} + (3 k - 1) x - 3 k = 0$ .
Per quali valori di $k$ l'area del rettangolo è $1$ ?

Calcoliamo il discriminante:
$Δ = (3 k$ ________ $1)^{2}$ ________ $12 k =$

$9 k^{2}$ ________ $6 k + 1 =$ $(3 k$ ________ $1)^{2} \geq 0$ , $\forall k \in R$ .

Troviamo quindi

$x_{1, 2} =$ ________	$╱$	$1$	.
	$╲$	$- 3 k$

Dunque l'area del rettangolo è
$A = 1 \cdot ($ ________ $) =$ ________.

Imponiamo ________ $= 1$
quindi $k =$ ________.

Completamento chiuso