Fai il punto sulle competenze - Le proprietà degli angoli dei poligoni #303505

Un angolo esterno adiacente a un angolo alla base di un triangolo isoscele misura

135^{\circ}

. Che cosa si può affermare con certezza riguardo al triangolo?

A:

È un triangolo acutangolo.

B:

È un triangolo ottusangolo.

C:

È un triangolo rettangolo.

D:

Non può esistere un triangolo con queste caratteristiche.

Scelta multipla

La somma degli angoli interni di un decagono è congruente alla somma degli angoli interni di:

A:

10

triangoli.

B:

4

quadrati.

C:

2

pentagoni.

D:

2

ettagoni.

Scelta multipla

Osserva la figura, in cui

A D

è parallelo a

B C

. L'angolo

x

è uguale a:

A:

α + β

.

B:

2 β - α

.

C:

180^{\circ} - α

.

D:

180^{\circ} - β

.

Scelta multipla

Vero o falso?

A:

In un quadrilatero la somma degli angoli interni è congruente alla somma degli angoli esterni.

B:

La somma degli angoli interni di un poligono di

n

lati è congruente alla somma degli angoli interni di

n - 3

triangoli.

C:

In un triangolo rettangolo isoscele ciascun angolo esterno misura

135^{\circ}

.

D:

La somma degli angoli interni di un pentagono concavo è uguale a quella di un pentagono convesso.

Vero o falso

Utilizzando le informazioni in figura, dimostra che i triangoli

A B C

e

B P D

sono congruenti e che la retta

A C

è parallela a

P D

.

Ipotesi:

A B ≅ B D

,

B \hat{P} D ≅

________.
Tesi:

A B C ≅ B P D

,

A C ∥ P D

.

DIMOSTRAZIONE

Per il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo, otteniamo:

C \hat{A} B ≅ B \hat{D} P

, perché ________ di angoli congruenti.

Consideriamo i triangoli

A B C

e

B P D

. Essi hanno:
•

A B ≅ B D

per ipotesi;
•

C \hat{B} A ≅ D \hat{B} P

perché ________;
•

C \hat{A} B ≅ B \hat{D} P

per la dimostrazione precedente.
Quindi i due triangoli sono congruenti per il ________ criterio.

Consideriamo ora le rette

A C

e

P D

tagliate dalla trasversale

C P

.
Esse, per ipotesi, formano una coppia di angoli ________ congruenti, quindi sono parallele per ________ di parallelismo.

Completamento chiuso

Utilizzando le informazioni in figura, dimostra che l'angolo

E \hat{B} C

è il triplo dell'angolo

A \hat{E} B

.

Ipotesi:

A C ≅

________,

A E ≅

________.
Tesi:

E \hat{B} C ≅ 3 A \hat{E} B

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo il triangolo

A B E

.
Per ipotesi i lati

A B

e ________ sono congruenti, quindi il triangolo è isoscele. Allora per il teorema del triangolo isoscele

A \hat{E} B ≅

________.
La somma degli angoli interni del triangolo è ________, dunque

E A B ≅ π - 2 A \hat{B} E

.

Consideriamo il triangolo

A B C

.
Per ipotesi il triangolo è isoscele, quindi per il teorema del triangolo isoscele

C \hat{A} B ≅ A \hat{B} C

.
Inoltre l'angolo

E \hat{A} B

è l'angolo esterno adiacente all'angolo

C \hat{A} B

, quindi

E \hat{A} B ≅

________

- C \hat{A} B ≅ π - A \hat{B} C

.
Confrontando con la condizione del punto precedente otteniamo che

A \hat{B} C ≅

________.

Da cui:

E \hat{B} C ≅ A \hat{B} E

________

A \hat{B} C ≅

A \hat{B} E + 2 A \hat{B} E ≅ 3 A \hat{B} E

.

Completamento chiuso

Trova

x

.

________

Completamento chiuso

Nel triangolo

A B C

l'angolo

C \hat{A} B

è doppio di

A \hat{B} C

, il minore degli angoli di

A B C

. Considera su

A B

un punto

D

tale che

B \hat{C} D ≅ D \hat{B} C

. La parallela ad

A C

passante per

D

incontra

B C

in

F

, mentre la bisettrice dell'angolo

C \hat{D} F

incontra

C B

in

E

. Dimostra che

D E

è perpendicolare ad

A B

.

Ipotesi:

C \hat{A} B ≅

________

A \hat{B} C

,

A \hat{B} C < B \hat{C} A

,

A \hat{B} C < C \hat{A} B

,

B \hat{C} D ≅ D \hat{B} C

,

r ∥ A C

,

s

bisettrice di

C \hat{D} F

.
Tesi:

D E ⊥ A B

DIMOSTRAZIONE

Se

r ∥ A C

, allora

D \hat{C} A ≅ C \hat{D} F

perché angoli alterni interni alle rette

r

,

A C

, tagliate dalla trasversale ________.
Consideriamo il triangolo

A B C

. Deve essere:

C \hat{A} B + A \hat{B} C +

________

+ D \hat{C} A =

π \to D \hat{C} A = π -

________

A \hat{B} C

.
Inoltre,

E \hat{D} F = \frac{C \hat{D} F}{2} = \frac{D \hat{C} A}{2} = \frac{π}{2} -

________

A \hat{B} C

,
per quanto dimostrato prima.
Consideriamo ora le rette parallele

r

e

A C

tagliate dalla trasversale

C B

.
Allora

D \hat{F} B ≅

________ perché angoli corrispondenti.
Di conseguenza,

D \hat{F} B ≅ B \hat{C} D + D \hat{C} A ≅ π -

________

A \hat{B} C

.
D'altra parte,

F \hat{D} B ≅ π - (F \hat{B} D + D \hat{F} B) ≅

________

A \hat{B} C

.
Quindi, unendo i risultati ottenuti, ricaviamo:

E \hat{D} B ≅ E \hat{D} F + F \hat{D} B ≅

\frac{π}{2} -

________

A \hat{B} C +

________

A \hat{B} C ≅ \frac{π}{2}

.
Abbiamo quindi ottenuto la tesi, cioè

E \hat{D} B ≅ \frac{π}{2}

.

Completamento chiuso

Nella figura è rappresentato un pentagono regolare. Trova l'ampiezza

x

dell'angolo indicato.

________

Completamento chiuso

Associa a ogni angolo interno

α

,

β

,

γ

,

δ

di un quadrilatero alla sua ampiezza, sapendo che valgono le seguenti relazioni:

α = 3 β

;

β + γ = 96^{\circ}

;

δ = α + 36^{\circ}

.

α

________

β

________

γ

________

δ

________

Posizionamento