Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.verde biennio (3ª edizione) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Le operazioni con le frazioni algebriche

Fai il punto sulle competenze - Le operazioni con le frazioni algebriche

15 esercizi

SVOLGI

INFO

Qual è il risultato della seguente espressione.

{[\frac{4 (x + 2 y)^{2}}{2 x y - x^{2}} + \frac{4 x}{x - 2 y} - \frac{8 y}{x}]}^{- 1} : {(\frac{24 y}{2 y - x})}^{- 3}

?
Supponi verificate le condizioni di esistenza.

\frac{24 y^{2}}{(2 y - x)}

\frac{576 y^{2}}{(2 y - x)^{2}}

\frac{24 y}{(2 y - x)^{2}}

\frac{576 y^{2}}{2 y - x}

Scelta multipla

Stabilisci quale fra le seguenti uguaglianze è corretta.

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{a + b}

\frac{3}{a} - \frac{1}{b} = \frac{2}{a - b}

\frac{3}{a^{2}} + \frac{1}{a} = \frac{3}{a^{3}}

\frac{2}{a^{2}} - \frac{1}{a} = \frac{2 - a}{a^{2}}

Scelta multipla

Qual è il risultato della seguente espressione.

[{(\frac{x}{y} + 1)}^{2} : (\frac{x}{y} - 1)] \cdot

{(\frac{x}{y} - 1)}^{2} : (\frac{x}{y} + 1) + 2 + \frac{2 x}{y}

?
Supponi verificate le condizione di esistenza.

\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}

\frac{x^{2} + y^{2}}{y}

{(\frac{x + y}{y})}^{2}

\frac{(x + y)^{2}}{y}

Scelta multipla

Considera le frazioni algebriche

A = \frac{x^{2} + 4 x + 3}{x^{2} - 9}

B = \frac{2 x - 6}{x^{2} + x}

.
a. Trova le C.E. e indica per quali valori di

x

si annullano.
b. Determina il loro prodotto e per quali valori esso si annulla.

a. Scomponiamo numeratore e denominatore della frazione algebrica

A

A = \frac{x^{2} + 4 x + 3}{x^{2} - 9} =

________.
Le C.E. sono date da:

x \neq \pm 3

. Eliminiamo il termine

x

________ a numeratore e denominatore e otteniamo:

A =

________. La frazione algebrica

A

si annulla per

x = - 1

.
Scomponiamo adesso numeratore e denominatore della frazione algebrica

B

B = \frac{2 x - 6}{x^{2} + x} = \frac{2 (x - 3)}{x (x - 1)}

.
Le C.E. sono date da:

x \neq 0 \land x \neq - 1

. La frazione algebrica

A

si annulla per

x =

________

b. La frazione algebrica ottenuta dal prodotto di

A B

ha come condizioni di esistenza l'unione delle condizioni di

A

B

x \neq \pm 3 \land x \neq 0 \land x \neq - 1

.
Il prodotto

A B

è dato da: ________

\cdot \frac{2 (x - 3)}{x (x + 1} = \frac{2}{x}

, e ________.

Completamento chiuso

La somma algebrica di una delle seguenti coppie di frazioni è

\frac{2 b - 1}{b - 3}

. Quale?

\frac{b - 1}{b - 3}

\frac{b}{3 - b}

\frac{2 b}{b - 3}

\frac{1}{- 3 + b}

\frac{b}{b - 3}

\frac{1 - b}{3 - b}

\frac{2 b}{- 3} e \frac{- 1}{b}

Scelta multipla

Semplifica la seguente espressione.

{[\frac{(a + 2)^{2}}{a^{2} + 2 a + 4} : {(\frac{a^{3} - 8}{a + 2})}^{- 1}]}^{2}

{[\frac{(a + 2)^{2}}{a^{2} + 2 a + 4} : {(\frac{a^{3} - 8}{a + 2})}^{- 1}]}^{2} =

[\frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} + 2 a + 4}

________

\frac{a^{3} - 8}{a + 2}]^{2} =

{[\frac{(a + 2)^{2} (a - 2) (a^{2} + 2 a + 4)}{(a^{2} + 2 a + 4) (a + 2)}]}^{2} =

[(a + 2)

________

(a - 2)]^{2}

=

________, con C.E.:

a \neq - 2

Completamento chiuso

Semplifica la seguente espressione.

{(\frac{x - 1}{x^{2} - 2 x} - \frac{2}{x^{2} - 4})}^{2} \cdot \frac{x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8}{5 x + 5}

{(\frac{x - 1}{x^{2} - 2 x} - \frac{2}{x^{2} - 4})}^{2} \cdot \frac{x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8}{5 x + 5} =

{[\frac{x - 1}{x (x - 2)} - \frac{2}{(x - 2) (x + 2)}]}^{2} \cdot \frac{(x + 2)^{3}}{5 (x + 1)} =

________

\cdot \frac{(x + 2)^{3}}{5 (x + 1)} =

________

\cdot \frac{(x + 2)^{3}}{5 (x + 1)} =

________

\cdot \frac{(x + 2)^{3}}{5 (x + 1)} =

{[\frac{(x - 2) (x + 1)}{x (x - 2) (x + 2)}]}^{2}

\cdot \frac{(x + 2)^{3}}{5 (x + 1)} =

\frac{(x + 1)^{2}}{x^{2} (x + 2)^{2}}

\cdot \frac{(x + 2)^{3}}{5 (x + 1)} =

________,
con C.E.:

x \neq 0 \land x \neq \pm 2 \land x \neq - 1

Completamento chiuso

Semplifica la seguente espressione.

$(\frac{a - 4}{a^{2} - 5 a + 6} - \frac{a + 2}{a^{2} + a - 12}) : \frac{12}{a^{2} + 2 a - 8}$

$(\frac{a - 4}{a^{2} - 5 a + 6} - \frac{a + 2}{a^{2} + a - 12}) : \frac{12}{a^{2} + 2 a - 8} =$

$[\frac{a - 4}{(a - 3) (a - 2)} - \frac{a + 2}{(a + 4) (a - 3)}] : \frac{12}{(a + 4) (a - 2)} =$

________ $\cdot \frac{(a + 4) (a - 2)}{12} =$

________ $\cdot \frac{1}{12} =$ ________,

con C.E.: $a \neq - 4 \land a \neq 2 \land a \neq 3.$

Completamento chiuso

Associa a ciascuna espressione le sue condizioni di esistenza.

1.

\frac{4 a b}{a - 7} \cdot \frac{b^{2}}{b + 1}

________

2.

\frac{4 a b}{a - 7} \cdot \frac{b + 1}{b^{2}}

________

3.

\frac{4 a}{a - 7} : \frac{b + 1}{b^{2}}

________

4.

{(\frac{b + 1}{b^{2}})}^{3}

________

Posizionamento

Alma gestisce un bar e acquista

n

confezioni di bottiglie di acqua al costo complessivo

P

. Rispetto allo stesso acquisto effettuato tre settimane prima, riscontra un aumento del

3 %

. Quale espressione fornisce il costo di una confezione il costo di una confezione prima dell'aumento?

Il costo di una confezione di bottiglie di acqua è ________.
Poiché Alma riscontra un aumento del

3 %

, si ha che
________

= x + \frac{3}{100} x

.
Quindi

\frac{P}{n} = x + \frac{3}{100} x

,
da cui

x =

________.

Completamento chiuso

Vero o falso?

{(\frac{a + 1}{a b})}^{- 1} \cdot {(\frac{a + 1}{2 a})}^{2} = \frac{a + 1}{2 a^{2} b}

- \frac{7 x^{2} y}{x + y} : {(\frac{x + y}{y^{2}})}^{- 1} = - \frac{7 x^{2}}{y}

{(\frac{x + 1}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 1})}^{2} = 1

\frac{10 a b c}{\frac{a}{b}} : c = 10

Vero o falso

Considera la sequenza

1 + 1, \frac{1}{2} + \frac{1}{4}, \frac{1}{3} + \frac{1}{9}, \frac{1}{4} + \frac{1}{16}, \dots

a. Scrivi altri due elementi e il termine generale sotto forma di unica frazione.
b. Calcola il valore del decimo termine.

a. Notiamo che ogni termine della sequenza si può ottenere come

\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}} =

________.
I successivi elementi della sequenza sono

\frac{1}{5} +

________ e

\frac{1}{6} +

________.

b. Il valore del decimo termine è dato da

\frac{1}{10} + \frac{1}{100} =

________.

Completamento chiuso

Un gruppo di genitori decide di organizzare una festa per i bambini in un locale con animatore. Il gruppo è formato da coppie con un figlio, tranne cinque coppie che he hanno due.

a. Sapendo che il costo della sala, che ammonta a

1000

€, è suddiviso per il numero di famiglie mentre il costo dell'animazione, pari a

200

€, per il numero di bambini, scrivi le frazioni che, in funzione del numero

x

di famiglie, rappresentato quanto dovrà pagare ogni famiglia con un figlio e quanto ogni famiglia con due figli.
b. Se le famiglie che organizzano la festa sono

20

, quanto pagherà ciascuna famiglia?

a. Sia

x

il numero di famiglie totali; di queste

5

coppie hanno due figli, e le restanti

x - 5

coppie hanno un solo figlio.
Il costo della sala va suddiviso per tutte le

x

famiglie; il costo dell'animazione è di

200

€ nel caso delle

x - 5

famiglie con un solo bambino, e di

2 \cdot 200 = 400

€, nel caso delle

5

con due figli. Il numero totale di bambini è ________.
La frazione che rappresenta quanto dovrà pagare ogni famiglia con un figlio è quindi:

\frac{1000}{x} +

________

=

\frac{1000 x + 5000 + 200 x}{x (x + 5)}

=

\frac{1200 x + 5000}{x (x + 5)}

.
La frazione che rappresenta quanto dovrà pagare ogni famiglia con due figli è:

\frac{1000}{x} + \frac{400}{x + 5}

=

\frac{1000 x + 5000 + 400 x}{x (x + 5)}

=

________.

b. Poiché

x = 20

, abbiamo che ogni famiglia con un figlio dovrà pagare:

\frac{1200 \cdot 20 + 5000}{20 \cdot 25}

=

________

=

58

€,
e ogni famiglia con due figli dovrà pagare:

\frac{1400 \cdot 20 + 5000}{20 \cdot 25} = \frac{33000}{500} =

________ €.

Completamento chiuso

Calcola l'area del trapezio, con

a > 0

.

Determiniamo la base maggiore del trapezio:

B = \frac{a + 1}{a} + \frac{3 a}{a + 1} + \frac{a + 5}{a} =

\frac{(a + 1)^{2} + 3 a^{2} + (a + 1) (a + 5)}{a (a + 1)} =

________.

Determiniamo l'area del trapezio:

A = \frac{(b + B) \cdot h}{2} =

\frac{1}{2} [\frac{3 a}{a + 1} + \frac{5 a^{2} + 8 a + 6}{a (a + 1)}] \cdot \frac{3 a}{a + 1} =

\frac{1}{2} [\frac{3 a^{2} + 5 a^{2} + 8 a + 6}{a (a + 1)}] \cdot \frac{3 a}{a + 1} =

\frac{1}{⧸ 2} \frac{⧸ 2 (4 a^{2} + 4 a + 3)}{a (a + 1)} \cdot \frac{3 a}{a + 1} =

________.

Completamento chiuso

Data l'espressione

{[\frac{x + 1}{{(\frac{x}{x - 1})}^{- 1}}]}^{- 1}

ricava la frazione algebrica equivalente, dopo aver determinato le condizione di esistenza.

Determiniamo le condizioni di esistenza

x - 1 \neq 0 \to x \neq

________

1

.
Eliminiamo l'esponente

- 1

all'interno delle parentesi quadre:

{[\frac{x + 1}{{(\frac{x}{x - 1})}^{- 1}}]}^{- 1}

=

________.
Aggiungiamo alle condizioni di esistenza anche

x \neq 0

.
Infine, calcoliamo il reciproco della frazione all'interno delle parentesi quadre:

{[\frac{x + 1}{\frac{x - 1}{x}}]}^{- 1}

=

{[\frac{(x + 1) x}{x - 1}]}^{- 1}

=

________.
Abbiamo trovato la frazione algebrica equivalente a quella di partenza. Dobbiamo aggiungere alle condizioni

x + 1 \neq 0

, cioè

x \neq - 1

.
Quindi:

x \neq - 1

.
In definitiva, le condizioni di esistenza sono:

x \neq 0 \land x \neq

________

1

Completamento chiuso