Fai il punto sulle competenze - Le frazioni algebriche e le frazioni equivalenti

Trasforma ogni frazione in una frazione equivalente ma con denominatore opposto.

a.   ${\displaystyle \frac{4a-1}{3-a}}$;

b.   ${\displaystyle \frac{2x}{(x-1{)}^2}}$;

c.   ${\displaystyle -\frac{y+2}{a-b}}$;

d.   ${\displaystyle -\frac{x+2}{x(-x-1)}}$.

Semplifica le seguenti frazioni algebriche dopo aver determinato le condizioni di esistenza.

a.   ${\displaystyle \frac{x^2-10x+25}{x^2-7x+10}}$

b.   ${\displaystyle \frac{27-a^3}{9a-3a^2}}$

c.   ${\displaystyle \frac{x^{3}y+3x^2+xy+3}{x^4-1}}$

a.   Scomponiamo il numeratore e il denominatore della frazione algebrica:

Determiniamo le condizioni di esistenza:

$x\ne 2\wedge x\ne 5.$ Quindi semplifichiamo:

b.   Scomponiamo il numeratore e il denominatore della frazione algebrica:

Determiniamo le condizioni di esistenza ponendo il denominatore diverso da zero: $a\ne 0\wedge a\ne 3$.

Quindi semplifichiamo numeratore e denominatore:

c.   Scomponiamo il numeratore e il denominatore della frazione algebrica:

${\displaystyle \frac{x^{3}y+3x^2+xy+3}{x^4-1}=}$

${\displaystyle \frac{x^2(xy+3)+(xy+3)}{(x^2+1)(x^2-1)=}}$

Determiniamo le condizioni di esistenza ponendo il denominatore diverso da zero: $x\ne \pm 1$. Quindi dividiamo il numeratore e denominatore per $x^2+1$ e otteniamo:

${\displaystyle \frac{(x^2+1)(xy+3)}{(x^2+1)(x+1)(x-1)}=\frac{xy+3}{x^2-1}.}$

Una comitiva organizza una giornata in un parco divertimenti. Noleggia un bus per il viaggio, spendendo $280$ €, e acquista i biglietti di ingresso con lo sconto comitiva a $16$ € l'uno. Secondo le regole del parco, a ogni bus di visitatori vengono offerti $2$ biglietti in omaggio.

a.   Se la comitiva è di $n$ persone, qual è il costo della gita per ciascuno? (Esprimi il costo come frazione algebrica in funzione di $n$, con $n>0$.)

b.   Qual è il costo per ognuno se i partecipanti sono $48$?

a.   Poiché a ogni bus di visitatori vengono offerti due biglietti, da $16$ € l'uno, abbiamo $16\cdot 2=32$ €.

Il costo totale della gita è quindi:

$280+16\cdot$________$-32$$=$$248$$+16\cdot$________.

Il costo della gita per ciascuna delle $n$ persone sarà quindi dato da:

b.   Nel caso $n=48$ abbiamo:

a. Quale delle seguenti frazioni è equivalente a ${\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$? Perché?
${\displaystyle \frac{x}{x^2+x}}$; ${\displaystyle \frac{2}{2x^2+2}}$; ${\displaystyle \frac{x^2-1}{x^4-1}}$.

b. Se $a\ne 0$$\wedge$$a\ne -1$, quale deve essere il numeratore $A$ della frazione ${\displaystyle \frac{A}{2a^2+2a}}$ affinché sia equivalente alla frazione ${\displaystyle \frac{3a^2-2a}{a^3+a^2}}$?

a. Analizziamo le frazioni date. La prima frazione è

${\displaystyle \frac{x}{x^2+x}=\frac{x}{x(x+1)}=\frac{1}{x+1}}$,

con C.E. $x\ne 0$$\wedge$$x\ne$________$1$.

La seconda frazione diventa:

${\displaystyle \frac{2}{2x^2+2}=\frac{2}{2(x^2+1)}=\frac{1}{x^2+1}}$,

con condizioni di esistenza ________.

La terza frazione diventa:

${\displaystyle \frac{x^2-1}{x^4-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x^2+1)(x^2-1)}=}$

${\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$,

con condizioni di esistenza $x\ne \pm 1$.

Quindi l'unica frazione equivalente a ${\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$ è la ________.

b. Scomponiamo in fattori la frazione:

${\displaystyle \frac{3a^2-2a}{a^3+a^2}=\frac{a(3a-2)}{a^2(a+1)}}$

Affinché ${\displaystyle \frac{3a-2}{a(a+1)}}$ sia equivalente alla frazione ${\displaystyle \frac{A}{2a^2+2a}=\frac{A}{2a(a+1)}}$, dobbiamo moltiplicare per $2$ numeratore e denominatore:

${\displaystyle \frac{3a-2}{a(a+1)}=\frac{2\cdot (3a-2)}{2a(a+1)}=\frac{6a-4}{2a(a+1)}}$.

Quindi $A=6$________$-4$.

Riduci allo stesso denominatore le seguenti frazioni algebriche.

${\displaystyle \frac{1}{-x^2+2x-1};\frac{x}{1-x^2};\frac{-3}{x^2+2x-3}.}$

Scomponiamo i denominatori delle tre frazioni; otteniamo:

${\displaystyle \frac{-3}{(x+3)(x-1)}.}$

Per trovare il denominatore comune alle tre frazioni calcoliamo il ________ dei tre denominatori:

$(x+1)(x-1{)}^2(x+3).$

Riduciamo adesso le tre frazioni algebriche allo stesso denominatore:

${\displaystyle \frac{-3(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1{)}^2(x+3)}}$.

Riduci allo stesso denominatore le seguenti frazioni algebriche.

${\displaystyle \frac{a}{2a{b}^2}}$;     ${\displaystyle \frac{2b}{5a^{3}b}}$.

Semplifichiamo le frazioni algebriche, con $a\ne 0$________$b\ne 0$:

${\displaystyle \frac{a}{2a{b}^2}=\frac{1}{2b^2}}$;

${\displaystyle \frac{2b}{5a^{3}b}=\frac{2}{5a^3}}$.

Per trovare il denominatore comune alle due frazioni calcoliamo il ________ dei due denominatori:

$10a^3$________.

Riduciamo le due frazione algebriche allo stesso denominatore: