Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.verde biennio (3ª edizione) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Le equazioni parametriche

Fai il punto sulle competenze - Le equazioni parametriche

8 esercizi

SVOLGI

INFO

Per quali valori del parametro

k

l'equazione

k x^{2} + (2 k + 3) x + k + 3 = 0

ammette due soluzioni reali il cui prodotto è almeno

10

0 < k \leq \frac{1}{3}

- \frac{1}{3} < k \leq 0

k < 0 \lor k > \frac{1}{3}

k = 0 \lor k = \frac{1}{3}

Scelta multipla

Considera la seguente equazione parametrica nell'incognita

x

. Determina per quali valori del parametro sono verificate le condizioni indicate.

k x^{2} + (2 - k) x - 1 = 0

, con

k \neq 0

;
a.    le radici sono coincidenti;
b.    le radici sono concordi;
c.

x_{1} + x_{2} = \frac{2}{3}

;
d.

\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 1

:
e. le radici sono opposte.

Innanzitutto imponiamo

k \neq

________ altrimenti l'equazione diventa di primo grado.
Calcoliamo poi il discriminante:

Δ = (2

________

k)^{2}

________

4 k =

4 - 4 k + k^{2} + 4 k =

k^{2}

________

4

________

0

\forall k \in R - {0}

.
Quindi esistono due radici ________

\forall k \in R - {0}

.

a. Perché sia

x_{1} = x_{2}

deve essere

Δ

________

0

.
Ma

Δ > 0

per ogni

k \in R

quindi ________

\in R

.

b. Perché le radici siano concordi il prodotto deve essere ________, cioè

\frac{c}{a} > 0

.
Quindi:
________

> 0 \to k

________

0

.

c. La somma delle radici è

- \frac{b}{a} =

________.
Imponiamo quindi ________

= \frac{2}{3}

e risolviamo:
________

(k - 2) =

________

\to

________

- 6 =

________

\to

k =

________.

d. Semplifichiamo il primo membro della richiesta:

\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} =

\frac{- \frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = - \frac{b}{c} =

________.
Imponiamo quindi ________

= 1

, cioé

k =

________.

e. Perché le radici siano opposte la somma deve essere ________, cioè

- \frac{b}{a}

________

0

.
________

= 0

\to

k = 2

Completamento chiuso

Dimostra che l'equazione

3 x^{2} - (a + 1) x - a^{2} = 0

ammette sempre due soluzioni reali.

Calcoliamo il discriminante

Δ = (a + 1)^{2}

________

12 a^{2}

.
Abbiamo che

(a + 1)^{2}

________

0

\forall a \in R

12 a^{2} \geq 0

, ________;
quindi la somma di quantità ________ sarà ________.
Concludiamo che l'equazione ammette due soluzioni ________.

Completamento chiuso

Associa a ogni condizione relativa all'equazione

x^{2} + (2 k - 1) x + k^{2} - k = 0

, in

x

, i valori corrispondenti del parametro

k

.

1. Ha soluzioni reali distinte.
________

2. Ha due soluzioni reali opposte.
________

3. Ha due soluzioni reali antireciproche.
________

4. Ha come soluzione

x = - 1

.
________

Posizionamento

Considera la seguente equazione parametrica nell'incognita

x

. Determina per quali valori del parametro sono verificate le condizioni indicate.

(a + 2) x^{2} + 2 a x + a - 2 = 0

;
a. le radici sono reali distinte;
b. le radici sono discordi e la maggiore in valore assoluto è positiva;
c. una radice è

2

;
d.

x_{1} = 5 - x_{2}

.

Innanzitutto imponiamo

a \neq

________ perché altrimenti l'equazione diventa di ________ grado.
Calcoliamo poi il discriminante:

Δ =

________

+ 4 (a + 2) (a - 2) =

________

- 4 (a^{2}

________

4) = 16 > 0

\forall a \in R

.

a. Le radici sono reali distinte

\forall a \in R - {

________

}

.

b. Perché le radici siano discordi, il prodotto deve essere negativo, cioè ________

< 0

\to

________

< 0

\to

________.
Inoltre , perché la maggiore in valore assoluto sia positiva , la somma deve essere positiva, cioè ________

> 0

.
________

> 0 \to

\frac{2 a}{a + 2}

________

0 \to

________.
La richiesta è quindi soddisfatta per
________

c. Sostituiamo

x =

________ nell'equazione:

4 (a + 2)

________

4 a + a - 2 = 0 \to

________

= - 6 \to a =

________.

d. Riscriviamo

x_{1}

________

x_{2} = 5

, cioè

- \frac{B}{A} = 5

- \frac{2 a}{a + 2} = 5 \to

________

=

5 a

________

10 \to

a =

________.

Completamento chiuso

Considera l'equazione

k x^{2} - 2 (k + 1) x + k - 1 = 0

.
Trova per quale valore di

k

la somma delle soluzioni è uguale al loro prodotto diminuito di

1

.

Calcoliamo il discriminante:

Δ =

________

(k + 1)^{2}

________

4 k (k - 1) =

________

k^{2} +

________

k +

________

- 4 k^{2} + 4 k =

12 k + 4 = 4 (3 k + 1)

.
Perché le soluzioni reali ________ deve essere

Δ \geq 0

, cioè

k \geq

________.
Scriviamo la condizione con le soluzioni

x_{1}

x_{2}

x_{1}

________

x_{2}

=

x_{1} x_{2}

________

1

.
E riscriviamola utilizzando le formule per la somma e il prodotto:
________

=

\frac{c}{a}

________

1

\to

- b = c - a \to

________

(k + 1) = k - 1

________

k \to

2 k =

________

\to

k =

________.
Il valore di

k

trovato ________ accettabile quindi
________.

Completamento chiuso

Considera la seguente equazione parametrica nell'incognita

x

k x^{2} + (k + 2) x + 2 = 0

, con

k \neq 0

.
Determina per quali valori del parametro

k

sono verificate le condizioni indicate:

a.   una soluzione è nulla;
b.   le soluzioni sono concordi;
c.   la differenza tra le soluzioni è

1

;
d.

x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + x_{1}^{2} \cdot x_{2}^{2} = 1

.

a. Sostituiamo

x = 0

nell'equazione:

2 = 0

quindi ________

k \in R

.

b. Imponiamo

\frac{c}{a}

________

0

,
cioè

\frac{2}{k}

> 0

\to

k >

________.

c. Imponiamo ________

= 1

,
cioè

\frac{\sqrt{(k + 2)^{2} - 8 k}}{k} = 1 \to

k^{2} - 4 k + 4 = k^{2} \to k =

________.

d. Riscriviamo la condizione richiesta come:

x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + x_{1}^{2} \cdot x_{2}^{2} = 1 \to

(x_{1} - x_{2}) (x_{1} + x_{2}) + (x_{1} x_{2})^{2} = 1

.
Imponiamo quindi

\frac{\sqrt{Δ}}{a} \cdot (- \frac{b}{a}) + \frac{c^{2}}{a^{2}} = 1 \to

c^{2} - b \sqrt{Δ} =

________,
cioè

4 - (k + 2) \sqrt{(k - 2)^{2}} = k^{2} \to

4 - (k + 2) | k - 2 | = k^{2}

{\begin{cases} k \geq 2 \\ k^{2} = 4 \end{cases} \lor {\begin{cases} k < 2 \\ 0 = 0 \end{cases}

\to

________.

Completamento chiuso

Considera la seguente equazione parametrica nell'incognita

x

. Determina per quali valori del parametro sono verificate le condizioni indicate.

(2 - k) x^{2} + 2 k x - k = 0

, con

k \neq 2

;
a.

(x_{1} + x_{2})^{2} = 4

;
b. la somma delle soluzioni diminuita di

1

è uguale a un terzo del prodotto delle soluzioni;
c. le soluzioni sono opposte;
d. una soluzione

x_{1}

è tale che

x_{1} = 1

.

Innanzitutto imponiamo

k \neq 2

perché altrimenti l'equazione diventa di primo grado.
Calcoliamo quindi il discriminante:

Δ = 4 k^{2} + k (2 - k) =

4 k^{2}

________

2 k

________

k^{2} =

3 k^{2} + 2 k = k (3 k + 2)

.
Imponiamo

Δ \geq 0

e troviamo ________.
Le condizioni di esistenza delle radici sono quindi

k \leq - \frac{2}{3} \lor k \geq 0

con

k \neq 2

.

a. La somma delle radici è

- \frac{b}{a} =

________

=

\frac{2 k}{k - 2}

.
Quindi riscriviamo

{(\frac{2 k}{k - 2})}^{2} = 4

e risolviamo:

4 k^{2} = 4 (k -

________

)^{2} \to

4 k^{2} = 4 k^{2} - 16 k + 16 \to

16 k - 16 = 0 \to k =

________.

b. Scriviamo

x_{1} + x_{2}

________

1

=

\frac{1}{3} x_{1} x_{2}

.
Sostituiamo le formule per la somma e il prodotto e semplifichiamo:

- \frac{b}{a} - 1 =

________

\cdot \frac{c}{a} \to - 3 b - 3 a = c

.
Quindi:

-

________

k

- 3 (2 - k) = - k \to

- 6 k - 6 + 3 k + k = 0 \to

2 k = - 6 \to k =

________.

c. Perché le soluzioni siano opposte la somma deve essere nulla,
cioè

- \frac{b}{a}

________

0

- \frac{2 k}{2 - k}

________

0 \to k

________

0

.

d. Sostituiamo

x_{1} = 1

nell'equazione:

2

- k

________

2 k

- k = 0 \to 2 = 0 \to

________

\in R

Completamento chiuso