Fai il punto sulle competenze - Le equazioni di secondo grado #457663

Risolvi la seguente equazione senza svolgere il quadrato di binomio:

(18 x - 7)^{2} - 4 (18 x - 7) = 0

.

Notiamo che le parentesi contengono lo stesso binomio e possono essere quindi raccolte a fattor comune:

(18 x - 7)

________

= 0 \to

(18 x - 7)

________

= 0

.

Quindi per la legge di annullamento del ________:

x =

________

\lor x =

________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione.

2 (x - 1) (x - 3) = - (3 + 2 x)^{2} + 4 x + 21

2 (x - 1) (x - 3) = - (3 + 2 x)^{2} + 4 x + 21

2 x^{2} -

________

x + 6 =

- 9

________

12 x - 4 x^{2} + 4 x + 21

________

x^{2} - 6 = 0

x^{2} =

________
________

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione.

4 x^{2} - 2 \sqrt{2} = 0

Isoliamo il termine

x^{2}

:

4 x^{2} =

________

2 \sqrt{2}

\to

x^{2} =

________
Eleviamo entrambi i membri al quadrato:
________

=

________.
Troviamo quindi

x =

________.

Completamento chiuso

Vero o falso?

A:

L'equazione

2 x^{2} + 5 x = 0

è spuria.

B:

L'equazione

3 x^{2} - 6 x + 2 = 0

è impossibile.

C:

x = 2

è una soluzione dell'equazione

x^{2} - 3 x - 1 = 0

.

D:

Un'equazione pura ammette sempre la soluzione

x = 0

.

Vero o falso

Completa le seguenti equazioni in modo che abbiano per soluzioni i valori indicati nella riga sottostante.

a. ________

x^{2} - 12 x = 0

Soluzioni:

0

e

4

;

b.

4 x^{2} -

________

= 0

Soluzioni:

- \frac{3}{2}

e

\frac{3}{2}

;

c.

x^{2} -

________

x + 6 = 0

Soluzioni:

2

e

3

;

d.

2 x^{2} +

________

x + 98 = 0

Soluzioni:

- 7

soluzione doppia.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione.
$(\frac{2}{3} x - 1) (- \frac{2}{3} x + 1) - x =$ $(- x - 1) (x - 1) - \frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{2} - x)$

Sviluppiamo i prodotti utilizzando, dove possibile, i prodotti notevoli:
$- \frac{4}{9} x^{2}$ ________ $\frac{2}{3} x$ ________ $\frac{2}{3} x$ ________ $1 - x =$

$1$ ________ $x^{2}$ ________ $\frac{4}{9} x^{2}$ ________ $\frac{4}{3} x$ .

Semplifichiamo:
$x^{2}$ ________ $x$ ________ $2 = 0$ .

Troviamo il discriminante $Δ =$ ________ e quindi risolviamo:

$x_{1, 2} =$ ________ $=$	$╱$	________	$.$
	$╲$	$- \frac{1}{2}$

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione di secondo grado fratta.

\frac{x^{2} - 1}{x} + \frac{3}{2 x} = \frac{3}{2}

Il minimo comune denominatore è ________ quindi le C.E. sono

x \neq 0

.

\frac{2 (x^{2} - 1) + 3}{2 x} = \frac{3 x}{2 x}

Semplifichiamo il denominatore e risolviamo

2 (x^{2} - 1) + 3 = 3 x

:

2 x^{2}

________

3 x +

________

= 0

Δ = 9 -

________

=

________

x_{1, 2} =

________

x_{1} = 1, x_{2} = \frac{1}{2} .

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione.

2 x^{2} + 4 x + \sqrt{3} = 0

2 x^{2} + 4 x + \sqrt{3} = 0

\frac{Δ}{4} =

________

- 2 \sqrt{3} =

(1

________

\sqrt{3})^{2}

x_{1, 2} =

________

x_{1} = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, x_{2} = \frac{- 3 + \sqrt{3}}{2}

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione di secondo grado fratta.

\frac{2}{\sqrt{3} x^{2}} = \frac{1}{2 x} - \sqrt{3}

Il minimo comune denominatore è

2 \sqrt{3} x^{2}

quindi le C.E. sono ________.
L'equazione diventa:

\frac{4}{2 \sqrt{3} x^{2}} = \frac{\sqrt{3} x - 6 x^{2}}{2 \sqrt{3} x^{2}} .

Semplifichiamo il denominatore e risolviamo

4 = \sqrt{3} x - 6 x^{2}

:

6 x^{2}

________

\sqrt{3} x

________

4 = 0

Δ = 3

________

96 =

________________

0

.
Quindi l'equazione è impossibile, cioè non ha alcuna soluzione ________.

Completamento chiuso

Considera l'equazione

\frac{2 x}{x - 1} = \frac{(a - 1) x}{x - 2}

.
a. Per quali valori di

a

l'equazione ammette

x = 1

come soluzione?
b. Per quali valori di

a

l'equazione ammette

x = - 2

come soluzione?
c. Quale valore di

x

è soluzione per ogni

a \in R

?

Troviamo innanzitutto le condizioni di esistenza dell'equazione:

x - 1 \neq 0 \land x - 2 \neq 0 \to

x \neq

________

\land x \neq

________.

a.

x = 1

è ________ come soluzione dalle condizioni di esistenza quindi
________

a \in R

.

b. Sostituiamo

x = - 2

nell'equazione:

\frac{- 4}{- 3} = \frac{- 2 (a - 1)}{- 4} \to

________

=

6 a

________

6

\to

a = \frac{11}{3}

.

c. Moltiplichiamo entrambi i membri per
________:

2 x (x - 2) = (a - 1) x (x - 1) \to

2 x^{2} - 4 x = a x^{2}

________

a x

________

x^{2}

________

x

\to

(3 - a) x^{2} + (a - 5) x = 0

L'equazione trovata è un'equazione ________ quindi

x =

________ quindi è soluzione

\forall a \in R

.

Completamento chiuso

Considera l'equazione letterale

(a + 1) x^{2} + 2 a x + a - 3 = 0

.
Determina per quali valori di

a

l'equazione:

a. è di secondo grado;
b. è impossibile;
c. ammette una soluzione doppia;
d. ammette due soluzioni distinte, di cui una è

x_{1} = 2

.

a. Il termine di secondo grado ________ annullarsi quindi

a

________

- 1

.

b. Calcoliamo il determinante

\frac{Δ}{4} = a^{2} - (a + 1) (a - 3) =

________

2 a

________

3

.
Deve essere

\frac{Δ}{4}

________

0

, quindi

a <

________.

c. In questo caso, deve essere

\frac{Δ}{4}

________

0

, quindi

a

________

- \frac{3}{2}

.

d. In questo caso, deve essere

\frac{Δ}{4}

________

0

, quindi

a

________

- \frac{3}{2}

.
Sostituiamo quindi

x = 2

e otteniamo:
________

(a + 1) +

________

+ a - 3 = 0 \to

________

+ 1 = 0

.
Quindi

a =

________ che soddisfa le condizioni sul determinante quindi ________ accettabile.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione con un'opportuna sostituzione.

{(\frac{x^{2} + 6}{x^{2} - 4 x})}^{2} + 4 \cdot \frac{x^{2} + 6}{x (x - 4)} = 5

Le C.E. sono ________.
Scegliamo

y = \frac{x^{2} + 6}{x (x - 4)}

e risolviamo

y^{2} + 4 y = 5

:

y^{2} + 4 y

________

5 = 0 \to

(y

________

5) (y - 1) = 0 \to

y =

________

5 \lor y = 1

.
Quindi:

\frac{x^{2} + 6}{x (x - 4)} =

________

5

\to

x^{2} + 6 =

________

5 x (x - 4) \to

6 x^{2} - 20 x + 6 = 0 \to

3 x^{2} - 10 x + 3 = 0 \to

\frac{Δ}{4} =

________

- 9 = 16

,

x_{1, 2} = \frac{5 \pm 4}{3}

x_{1} =

________,

x_{2} =

________
oppure

\frac{x^{2} + 6}{x (x - 4)} = 1 \to x^{2} + 6 = x (x - 4) \to

________

= - 6 \to x =

________.
Le soluzioni dell'equazione sono quindi ________, ________ e ________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione di secondo grado fratta.

\frac{3}{x + 2} + \frac{2 x^{2} - 2}{x^{2} + 2 x} = 1

Il minimo comune denominatore è

x (x + 2)

quindi le C.E. sono ________.
L'equazione diventa:

\frac{3 x + 2 x^{2} - 2}{x (x + 2)} = \frac{x (x + 2)}{x (x + 2)}

.
Semplifichiamo il denominatore e risolviamo

3 x + 2 x^{2} - 2 = x (x + 2)

:

3 x + 2 x^{2} - 2 = x^{2} + 2 x

________

+

________

- 2 = 0

(x + 2) (x - 1) = 0

x =

________

2 \lor x =

________

1

.
Controlliamo le C.E. e otteniamo ________ come unica soluzione accettabile.

Completamento chiuso