Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.verde biennio (3ª edizione) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Le equazioni di grado superiore al secondo

Fai il punto sulle competenze - Le equazioni di grado superiore al secondo

11 esercizi

SVOLGI

INFO

Quartic equation? Solve the following equation for

x

x^{4} - 5 a^{2} x^{2} + 4 a^{4} = 0

.
Then find the values of

a

such that

x = 3

is a solution.

L'equazione

x^{4} - 5 a^{2} x^{2} + 4 a^{4} = 0

è un'equazione biquadratica.
Per risolverla poniamo ________

= t

.
Sostituiamo

t

nell'equazione iniziale e otteniamo l'equazione equivalente
________

- 5 a^{2} t + 4 a^{4} = 0

.
Risolviamo l'equazione di secondo grado così ottenuta:

t^{2} - 5 a^{2} t + 4 a^{4} = 0 \to

Δ =

________

=

________

\to

t_{1, 2} = \frac{5 a^{2} \pm \sqrt{9 a^{4}}}{2} = \frac{5 a^{2} \pm 3 a^{2}}{2} \to

t = a^{2} \lor t = 4 a^{2}

.
Risostituiamo

x^{2} = a^{2}

x^{2} = 4 a^{2}

per determinare le soluzioni dell'equazione iniziale:

x^{2} = a^{2} \to x =

________.

x^{2} = 4 a^{2} \to x = \pm 2 a

.
Determiniamo adesso i valori di

a

affinché

x = 3

sia una soluzione.
Le condizioni sono

a = 3 \lor a = - 3 \lor 2 a = 3 \lor - 2 a = 3

.
Risolvendo le equazioni otteniamo

a = \pm 3 \lor a = \pm

________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione.

x^{8} - 97 x^{4} + 1296 = 0

x^{8} - 97 x^{4} + 1296 = 0

Per risolvere l'equazione poniamo
________

= t

.
Otteniamo così l'equazione equivalente

t^{2} - 97 t + 1296 = 0

.
Risolviamo l'equazione di secondo grado ottenuta:

t^{2} - 97 t + 1296 = 0 \to

Δ = 9409 - 5184 = 4225 \to

t_{1, 2} = \frac{97 \pm \sqrt{4225}}{2} = \frac{97 \pm 65}{2} \to

t_{1} = 16 \lor t_{2} = 81

.
Risostituiamo ________

= 16

e ________

= 81

per determinare le soluzioni dell'equazione iniziale:

x^{4} = 16 \to x =

________

\to

x =

________.

x^{4} = 81 \to x = \pm \sqrt[4]{81} \to x = \pm 3

Completamento chiuso

Considera l'equazione

x^{4} + x^{2} - 2 = 0

.
Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

È un'equazione biquadratica.

È impossibile.

Ammette due soluzioni opposte.

x = - 2

è soluzione dell'equazione.

Vero o falso

Per quali valori del parametro

a \in R

l'equazione

(2 - a) x^{4} - 8 = 0

\pm 2

come soluzioni?

Determiniamo il valore di

a

per cui

x = 2

è una soluzione:
________

\to

32 - 16 a - 8 = 0 \to

16 a =

________

\to

a =

________.

In modo analogo, procediamo per

x = - 2

. Otteniamo l'equazione

(2 - a) \cdot (- 2)^{4} - 8 = 0

, che è
________.

Otteniamo quindi che il valore del parametro

a

affinchè

\pm 2

siano soluzioni è

\frac{3}{2}

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione.
$\frac{6 x^{2} + 1}{x - 2} + \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{20 x^{2} + 4 x}{x^{2} - 4}$

Le condizioni di esistenza dell'equazione sono
$x \neq$ ________.

$\frac{6 x^{2} + 1}{x - 2} + \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{20 x^{2} + 4 x}{x^{2} - 4}$

$\frac{6 x^{2} + 1}{x - 2} + \frac{x - 2}{x + 2} =$	$20 x^{2} + 4 x$
	________

$(6 x^{2} + 1) (x + 2) + (x - 2)^{2} = 20 x^{2} + 4 x$

$6 x^{3} + 12 x^{2} + x + 2 +$ ________ $= 20 x^{2} + 4 x$

$6 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 6 = 0$

$6 (x^{3} + 1) - 7 x (x + 1) = 0$

$6 (x + 1) (x^{2} - x + 1) - 7 x (x + 1) = 0$

$(x + 1) [6$ ________ $- 7 x] = 0$

$(x + 1) (6 x^{2}$ ________ $+ 6) = 0$

$x + 1 = 0 \lor 6 x^{2} - 13 x + 6 = 0$ .

Risolvendo la prima equazione otteniamo $x = - 1$ .

Risolviamo la seconda equazione.

$6 x^{2} - 13 x + 6 = 0 \to$

$Δ = 169 - 144 = 25 \to$

$x_{1, 2} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{12} = \frac{13 \pm 5}{12} \to$

$x = \frac{2}{3} \lor x = \frac{3}{2}$ .

Le soluzioni dell'equazione sono quindi

$- 1$ , $\frac{2}{3}$ e $\frac{3}{2}$ .

Completamento chiuso

Risolvi l'equazione

(5 x + 1)^{4} = 16

(5 x + 1)^{4} = 16 \to

5 x + 1 =

________

\lor

5 x + 1 =

________.

Risolviamo le equazioni ottenute.

5 x + 1 =

________

\to

x = \frac{1}{5}

5 x + 1 = - 2

\to

x =

________.

Completamento chiuso

Per quali valori di

a

l'equazione

(3 a + 1) x^{4} = 16

nell'incognita

x

è impossibile?

(3 a + 1) x^{4} = 16 \to

x^{4} = \frac{16}{3 a + 1}

, con

a \neq

________.
Affinché l'equazione sia impossibile dobbiamo imporre che

\frac{16}{3 a + 1}

________

0

.
La disequazione è equivalente a

3 a + 1

________

0

poiché

16

è sempre positivo.
Quindi la disequazione ha come soluzione

a

________

- \frac{1}{3}

.
Concludiamo che i valori di

a

che rendono impossibile l'equazione data sono

a

________

- \frac{1}{3}

poiché

a = - \frac{1}{3}

è escluso per le condizioni di esistenza.

Completamento chiuso

Associa a ciascuna equazione le relative soluzioni:

1.

x^{4} + 5 x^{2} + 4 = 0

________

2.

8 x^{6} + 7 x^{3} - 1 = 0

________

3.

x^{6} - 27 = 0

________

4.

x^{8} - 16 = 0

________

Posizionamento

Tra le seguenti equazioni individua qual è reciproca e risolvila.
a.

3 x^{3} + 11 x^{2} - 11 x + 3 = 0

3 x^{4} + 11 x^{2} + 11 x + 3 = 0

3 x^{3} - 11 x^{2} - 11 x + 3 = 0

L'equazione reciproca è la ________.
Risolviamola.

3 x^{3} - 11 x^{2} - 11 x + 3 = 0

3 (x^{3} + 1) - 11 x (x

________

1) = 0

3 (x + 1) (x^{2} -

________

+ 1) -

11 x (x

________

1) = 0

(x + 1) (3 x^{2} - 3 x + 3 - 11 x) = 0

(x + 1) (3 x^{2} - 14 x + 3) = 0

x + 1 = 0 \lor 3 x^{2} - 14 x + 3 = 0

Risolviamo le due equazioni così ottenute.

x + 1 = 0 \to x = - 1

3 x^{2} - 14 x + 3 = 0 \to

Δ = 196 - 36 = 160 \to

x_{1, 2} = \frac{14 \pm \sqrt{160}}{6} = \frac{14 \pm 4 \sqrt{10}}{6} =

________.
Le soluzioni dell'equazione sono quindi

1

e ________.

Completamento chiuso

L'equazione

x^{6} - a x^{3} - a - 1 = 0

per

a = 0

ha soluzioni

x = 1

x = - 1

è di terzo grado

ha due soluzioni per qualunque valore di

a

ha soluzione

x = 2

per

a = - 7

Vero o falso

Determina le condizioni di esistenza della seguente frazione e semplificala:
$\frac{x^{4} - 1}{x^{3} - x}$ .

Le condizioni di esistenza della frazione algebrica si ottengono risolvendo l'equazione
________ $\neq 0$ .

$x (x^{2} - 1) \neq 0$

$x (x - 1) (x + 1) \neq 0$

$x \neq 0 \lor x \neq$ ________.

Semplifichiamo adesso la frazione algebrica, scomponendo numeratore e denominatore.

$\frac{x^{4} - 1}{x^{3} - x} =$	$(x^{2} - 1)$ ________	$\frac{x^{2} + 1}{x}$ .
	$x (x^{2} - 1)$

Completamento chiuso