Fai il punto sulle competenze - Le disuguaglianze nei triangoli #289201

È dato un triangolo isoscele

A B C

in cui la base

A B

è maggiore del lato

B C

. Indicate con

a

,

b

,

c

le misure dei lati opposti ai vertici

A

,

B

e

C

rispettivamente e con

α

,

β

,

γ

le misure dei corrispondenti angoli del triangolo, stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A: L'angolo esterno di vertice

B

è ottuso.

B:

γ > α

.

C:

2 a > c

.

D:

β > α

.

Vero o falso

Utilizzando tutti i

52

m di corda a disposizione devi contornare completamente un'aiuola triangolare. I lati dell'aiuola sono tali che il secondo misura i

\frac{2}{3}

del primo e il terzo è la metà del primo. Calcola le lunghezze dei lati e stabilisci se con essi è possibile costruire un triangolo.

Se chiamiamo le misure di tre lati

l_{1}

,

l_{2}

e

l_{3}

:

l_{2} =

________

l_{1}

;

l_{3} = \frac{1}{2}

________;

l_{1} + l_{2} + l_{3} = 52

.
Esprimiamo la somma delle misure in funzione di

l_{1}

.

l_{1} + l_{2} + l_{3} = l_{1} + \frac{2}{3} l_{1} + \frac{1}{2} l_{1} =

(1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{2}) \cdot l_{1} =

________

l_{1}

.
Abbiamo quindi che

\frac{13}{6} l_{1} = 52

,

l_{1} =

________

\cdot 52 = 24

.
La lunghezza del primo lato è

24

m.

l_{2} =

________

\cdot 24 = 16

;

l_{3} =

________

\cdot 24 = 12

.
Le lunghezze degli altri due lati sono

16

m e

12

m.
È possibile costruire un triangolo se

16 + 12 > 24

;

24

________

16

________

12

;

12 + 24 > 16

.
Le tre disuguaglianze ________ tutte verificate, quindi ________ possibile costruire il triangolo.

Completamento chiuso

Un triangolo ha il perimetro di

60

cm. Può avere due lati lunghi

18

cm e

31

cm?

Chiamiamo le misure dei tre lati

l_{1}

,

l_{2}

e

l_{3}

.

l_{1} = 18

;

l_{2} = 31

;
quindi

l_{3} = 60 - 18 - 31 =

________.
Osserviamo che:

l_{1} +

________

= 18 +

________

=

________.
Quindi

l_{2}

________

l_{1} + l_{3}

.
Pertanto un triangolo di perimetro

60

cm ________ avere due lati lunghi

18

cm e

31

cm.

Completamento chiuso

Utilizzando le congruenze indicate in figura, dimostra che:
a.

A \hat{B} C < O \hat{C} A

;
b.

A D + B C > A B + C D

.

Ipotesi

O C ≅ O A

A B ≅ C D

Tesi
a.

A \hat{B} C < O \hat{C} A

b.

A D + B C > A B + C D

Dimostrazione

a.
Il triangolo

O A C

ha due lati congruenti per ipotesi quindi è isoscele, da cui

O \hat{C} A ≅

________.
In un triangolo, ciascun angolo esterno è ________ dei due angoli interni non adiacenti a esso, quindi nel triangolo

A B C

:

A \hat{B} C

________

O \hat{A} C

.
Inoltre, poiché abbiamo dimostrato che

O \hat{A} C ≅ O \hat{C} A

, otteniamo:

A \hat{B} C

________

O \hat{C} A

.

b.

C \hat{A} B ≅ A \hat{C} D

perché supplementari di angoli alla base di un triangolo isoscele e poiché in un triangolo isoscele gli angoli alla base sono ________,

C \hat{A} B

e

A \hat{C} D

sono entrambi angoli ________.
Sono allora gli angoli maggiori rispettivamente dei triangoli ________ e

A C D

e perciò sono opposti ai lati maggiori, rispettivamente ________ e

A D

. In particolare

B C >

________;

A D

________

C D

.
Sommando membro a membro otteniamo:

A D + B C

________

A B + C D

.

Completamento chiuso

Considera i tre segmenti che soddisfano le seguenti condizioni. Indica se è possibile costruire con essi un triangolo

A B C

.
a.

A C ≅ A B

,

A C ≅ \frac{1}{2} B C

.
b.

A B ≅ 2 B C

,

B C ≅ 2 A C

.
c.

A B ≅ 2 B C

,

A C ≅ \frac{3}{2} B C

.
d.

A C ≅ 2 A B

,

3 A B ≅ B C

.

Per ogni terna è possibile costruire un triangolo se sono soddisfatte le tre disuguaglianze

A B < A C + B C

;

B C < A C + A B

;

A C < A B + B C

.

a.

A C + A B ≅ \frac{1}{2} B C +

________

B C ≅ B C

;
quindi non è possibile costruire un triangolo in quanto non è verificata la ________ disuguaglianza.

b.
Dalle congruenze date ricaviamo:

A C ≅ \frac{1}{2} B C

;

B C ≅ \frac{1}{2} A B

;
da cui

A C ≅ \frac{1}{2} (\frac{1}{2}

________

) ≅ \frac{1}{4}

________.

Dalle congruenze precedenti otteniamo:

A C + B C ≅

________

A B

,
quindi non è possibile costruire un triangolo in quanto non è verificata la ________ disuguaglianza.

c.
Dalle congruenze date ricaviamo:

A C + B C ≅ \frac{3}{2} B C +

________

≅

\frac{5}{2} B C ≅ \frac{5}{2} (

________

A B) ≅ \frac{5}{4} A B

;

A B + A C ≅ 2 B C + \frac{3}{2} B C ≅

________

B C

;

A B + B C ≅ 2 B C +

________

≅

________

(

________

A C) ≅ 2 A C

.

Abbiamo allora che:

A C + B C ≅ \frac{5}{4} A B \to A B < A C + B C

;

A B + A C ≅ \frac{7}{2} B C \to B C < A B + A C

;

A B + B C ≅ 2 A C \to A C < A B + B C

;
quindi è possibile costruire un triangolo.

d.
Dalla seconda delle congruenze date otteniamo:

3 A B ≅ B C \to A B ≅ \frac{1}{3} B C

.

A B + A C ≅ A B +

________

A B ≅

________

A B ≅ 3 (\frac{1}{3} B C) ≅ B C

,
quindi non è possibile costruire un triangolo in quanto non è verificata la ________ disuguaglianza.

Completamento chiuso

Utilizzando le informazioni che puoi dedurre dalla figura, dimostra che il perimetro del triangolo

A B C

è minore di

4 C D

.

Ipotesi

A B ≅ B D

C \hat{A} D ≅ \frac{π}{2}

Tesi

A B + B C + A C < 4 C D

Dimostrazione

Nel triangolo rettangolo

A B D

,

A C

è ________ e

C D

è ________, quindi:

A C

________

C D

.

Nel triangolo

C B D

l'angolo

C \hat{B} D

è ottuso perché supplementare di

C \hat{B} A

che è acuto in quanto angolo diverso dall'angolo ________ nel triangolo rettangolo

A B C

.
Ad angolo maggiore sta opposto lato ________, quindi

B C

________

C D

.

Sempre nel triangolo

C B D

vale la disuguaglianza

B D <

________.
Poiché, come abbiamo dimostrato,

B C < C D

:

C D + B C < C D +

________
da cui, per la proprietà transitiva:

B D < C D + C D ≅ 2 C D

ed essendo

B D ≅ A B

per ipotesi:

A B < 2 C D

.

Sommiamo membro a membro le tre disuguaglianze ottenute.

A C + B C + A B < C D +

________

C D +

________

C D

A C + B C + A B < 4 C D

Il perimetro del triangolo

A B C

è allora minore di

4 C D

.

Completamento chiuso

Un triangolo può avere lati di lunghezze:

A:

12

cm,

4

cm,

6

cm.

B:

5

m,

12

m,

13

m.

C:

5

cm,

7

dm,

9

cm.

D:

15

dm,

18

dm,

24

dm.

E:

3

m,

7

m,

10

m.

F:

7

m,

5

dm,

11

m.

Vero o falso

Considera un punto

P

interno al triangolo

A B C

. Dimostra che la somma delle distanze di

P

dai vertici del triangolo è maggiore del semiperimetro.

Ipotesi

P

interno ad

A B C

Tesi

A P + B P + C P < \frac{A B + B C + A C}{2}

Dimostrazione

Consideriamo i triangoli

A P C

,

C P B

e ________ e applichiamo a ciascuno di essi la prima disuguaglianza triangolare. Otteniamo

A P + C P > A C

;

C P + B P > B C

;

B P + A P

________

A B

.
Sommiamo membro a membro le tre disuguaglianze:

(A P +

________

) + (C P + B P) + (B P + A P) >

A C + B C +

________

A P + A P + B P + B P + C P + C P >

A B + B C + A C

2 (A P + B P + C P) >

________

+ B C + A C

.

Dall'ultima disuguaglianza troviamo

A P + B P + C P

________

\frac{A B + B C + A C}{2}

,
quindi la somma delle distanze di

P

dai vertici del triangolo è maggiore del semiperimetro.

Completamento chiuso