Tipo di esercizi
Completamento chiuso,
Vero o falso
Area tematica
Libro
Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1
Capitolo
Fai il punto sulle competenze - Le disuguaglianze nei triangoli
INFO

Matematica

È dato un triangolo isoscele ABC in cui la base AB è maggiore del lato BC. Indicate con a, b, c le misure dei lati opposti ai vertici A, B e C rispettivamente e con α, β, γ le misure dei corrispondenti angoli del triangolo, stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.
A: L'angolo esterno di vertice B è ottuso.
B: γ>α.
C: 2a>c.
D: β>α.
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Matematica

Un triangolo può avere lati di lunghezze:
A: 12 cm, 4 cm, 6 cm.
B: 5 m, 12 m, 13 m.
C: 5 cm, 7 dm, 9 cm.
D: 15 dm, 18 dm, 24 dm.
E: 3 m, 7 m, 10 m.
F: 7 m, 5 dm, 11 m.
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Considera i tre segmenti che soddisfano le seguenti condizioni. Indica se è possibile costruire con essi un triangolo ABC.
a.   ACAB, AC12BC.
b.   AB2BC, BC2AC.
c.   AB2BC, AC32BC.
d.   AC2AB, 3ABBC.

Per ogni terna è possibile costruire un triangolo se sono soddisfatte le tre disuguaglianze
AB<AC+BC;
BC<AC+AB;
AC<AB+BC.

a.
AC+AB12BC+________BCBC;
quindi non è possibile costruire un triangolo in quanto non è verificata la ________ disuguaglianza.

b.
Dalle congruenze date ricaviamo:
AC12BC;
BC12AB;
da cui
AC12(12________)14________.

Dalle congruenze precedenti otteniamo:
AC+BC________AB,
quindi non è possibile costruire un triangolo in quanto non è verificata la ________ disuguaglianza.

c.
Dalle congruenze date ricaviamo:
AC+BC32BC+________
52BC52(________AB)54AB;

AB+AC2BC+32BC________BC;

AB+BC2BC+________
________(________AC)2AC.

Abbiamo allora che:
AC+BC54ABAB<AC+BC;
AB+AC72BCBC<AB+AC;
AB+BC2ACAC<AB+BC;
quindi è possibile costruire un triangolo.

d.
Dalla seconda delle congruenze date otteniamo:
3ABBCAB13BC.

AB+ACAB+________AB
________AB3(13BC)BC,
quindi non è possibile costruire un triangolo in quanto non è verificata la ________ disuguaglianza.
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Un triangolo ha il perimetro di 60 cm. Può avere due lati lunghi 18 cm e 31 cm?

Chiamiamo le misure dei tre lati l1, l2 e l3.
l1=18; l2=31;
quindi
l3=601831=________.
Osserviamo che:
l1+________=18+________=________.
Quindi
l2________l1+l3.
Pertanto un triangolo di perimetro 60 cm ________ avere due lati lunghi 18 cm e 31 cm.
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Utilizzando tutti i 52 m di corda a disposizione devi contornare completamente un'aiuola triangolare. I lati dell'aiuola sono tali che il secondo misura i 23 del primo e il terzo è la metà del primo. Calcola le lunghezze dei lati e stabilisci se con essi è possibile costruire un triangolo.

Se chiamiamo le misure di tre lati l1, l2 e l3:
l2=________l1;
l3=12________;
l1+l2+l3=52.
Esprimiamo la somma delle misure in funzione di l1.
l1+l2+l3=l1+23l1+12l1=
(1+23+12)l1=
________l1.
Abbiamo quindi che
136l1=52,
l1=________52=24.
La lunghezza del primo lato è 24 m.
l2=________24=16;
l3=________24=12.
Le lunghezze degli altri due lati sono 16 m e 12 m.
È possibile costruire un triangolo se
16+12>24;
24________16________12;
12+24>16.
Le tre disuguaglianze ________ tutte verificate, quindi ________ possibile costruire il triangolo.
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Considera un punto P interno al triangolo ABC. Dimostra che la somma delle distanze di P dai vertici del triangolo è maggiore del semiperimetro.

Ipotesi
P interno ad ABC

Tesi
AP+BP+CP<AB+BC+AC2

Dimostrazione

Consideriamo i triangoli APC, CPB e ________ e applichiamo a ciascuno di essi la prima disuguaglianza triangolare. Otteniamo
AP+CP>AC;
CP+BP>BC;
BP+AP________AB.
Sommiamo membro a membro le tre disuguaglianze:
(AP+________)+(CP+BP)+(BP+AP)>
AC+BC+________

AP+AP+BP+BP+CP+CP>
AB+BC+AC

2(AP+BP+CP)>________+BC+AC.

Dall'ultima disuguaglianza troviamo
AP+BP+CP________AB+BC+AC2,
quindi la somma delle distanze di P dai vertici del triangolo è maggiore del semiperimetro.
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Utilizzando le informazioni che puoi dedurre dalla figura, dimostra che il perimetro del triangolo ABC è minore di 4CD.

Ipotesi
ABBD
CA^Dπ2

Tesi
AB+BC+AC<4CD

Dimostrazione

Nel triangolo rettangolo ABD, AC è ________ e CD è ________, quindi:
AC  ________CD.

Nel triangolo CBD l'angolo CB^D è ottuso perché supplementare di CB^A che è acuto in quanto angolo diverso dall'angolo ________ nel triangolo rettangolo ABC.
Ad angolo maggiore sta opposto lato ________, quindi
BC________CD.

Sempre nel triangolo CBD vale la disuguaglianza BD<________.
Poiché, come abbiamo dimostrato, BC<CD:
CD+BC<CD+________
da cui, per la proprietà transitiva:
BD<CD+CD2CD
ed essendo BDAB per ipotesi:
AB<2CD.

Sommiamo membro a membro le tre disuguaglianze ottenute.
AC+BC+AB<CD+________CD+________CD
AC+BC+AB<4CD
Il perimetro del triangolo ABC è allora minore di 4CD.
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Utilizzando le congruenze indicate in figura, dimostra che:
a.   AB^C<OC^A;
b.   AD+BC>AB+CD.

Ipotesi
OCOA
ABCD

Tesi
a.   AB^C<OC^A
b.   AD+BC>AB+CD

Dimostrazione

a.
Il triangolo OAC ha due lati congruenti per ipotesi quindi è isoscele, da cui
OC^A________.
In un triangolo, ciascun angolo esterno è ________ dei due angoli interni non adiacenti a esso, quindi nel triangolo ABC:
AB^C________OA^C.
Inoltre, poiché abbiamo dimostrato che OA^COC^A, otteniamo:
AB^C________OC^A.

b.
CA^BAC^D perché supplementari di angoli alla base di un triangolo isoscele e poiché in un triangolo isoscele gli angoli alla base sono ________, CA^B e AC^D sono entrambi angoli ________.
Sono allora gli angoli maggiori rispettivamente dei triangoli ________ e ACD e perciò sono opposti ai lati maggiori, rispettivamente ________ e AD. In particolare
BC>________; AD________ CD.
Sommando membro a membro otteniamo:
AD+BC________AB+CD.
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