Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.verde biennio (3ª edizione) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Le disequazioni fratte e i sistemi di disequazioni

Fai il punto sulle competenze - Le disequazioni fratte e i sistemi di disequazioni

11 esercizi

SVOLGI

INFO

Risolvi la seguente disequazione fratta nell'incognita

x

\frac{(4 + x^{2}) (9 - x^{2})^{2}}{x^{3} (x - 1)^{3}} \leq 0

Tutti i fattori della frazione sono potenze di polinomi di grado minore o uguale a due;
studiamo il segno di ogni singolo fattore. Osserviamo che:
•

N_{1} = 4 + x^{2}

è sempre positivo;
•

N_{2} = (9 - x^{2})^{2}

è sempre positivo e si annulla per

x =

________, quindi si può trascurare nello studio del segno. Terremo conto dei valori in cui si annulla nello scrivere le soluzioni.

D_{1} > 0 \to x^{3} > 0 \to

________;

D_{2} > 0 \to (x - 1)^{3} > 0 \to

________.
Il quadro dei segni che rappresenta le soluzioni della disequazione è quello in figura ________.

Le soluzioni della disequazione sono date da tutti gli

x

per cui la frazione è minore o uguale a zero, cioè:
________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione fratta nell'incognita $x$ .
$\frac{1 + 2 x}{x - 2} - \frac{5}{2 x + 4} > \frac{1}{2}$

$\frac{1 + 2 x}{x - 2} - \frac{5}{2 x + 4} > \frac{1}{2}$

$\frac{1 + 2 x}{x - 2} - \frac{5}{2 (x + 2)} - \frac{1}{2} > 0$

________ $+ 5 x + 18$	$> 0$
$2 (x - 2) (x + 2)$	$> 0$

Studiamo il segno del numeratore:
$3 x^{2} + 5 x + 18 > 0 \to$ ________.

Studiamo il segno del denominatore:
$2 (x - 2) (x + 2) > 0 \to$ ________.

Compiliamo adesso lo schema dei segni.

Le soluzioni della disequazione sono quindi
________.

Completamento chiuso

La disequazione

\frac{2 x^{2}}{x^{2} - x - 2} \leq 0

è equivalente al sistema

{\begin{cases} 2 x^{2} \leq 0 \\ x^{2} - x - 2 \leq 0 \end{cases} .

è impossibile.

è verificata per

- 1 < x < 2

è equivalente a

\frac{x^{2}}{- x^{2} + x + 2} \geq 0

Vero o falso

Quanti sono i numeri interi positivi

n

tali che

\frac{n^{2}}{3 - n} \geq \frac{2 - 3 n}{n - 3}

1

2

3

Infiniti.

Scelta multipla

Completa utilizzando le due funzioni rappresentate graficamente nella figura.

a.

f (x) \geq 0

è verificata per ________.

b.

{\begin{cases} f (x) \leq 0 \\ g (x) \leq 0 \end{cases}

è verificato per ________

c.

{\begin{cases} f (x) > 0 \\ g (x) < 0 \end{cases}

è verificato per ________

d.

{\begin{cases} f (x) \leq 0 \\ g (x) > 0 \end{cases}

è verificato per ________

Completamento chiuso

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

{\begin{cases} (x - 2) (x + 3) < 3 x^{2} - 9 \\ \frac{3}{x} \leq x + 2 \end{cases}

Risolviamo separatamente le due disequazioni.
Prima disequazione

(x - 2) (x + 3) < 3 x^{2} - 9

x^{2} + x - 6 - 3 x^{2} + 9 < 0

2 x^{2} - x - 3

________

0

________

Seconda disequazione

\frac{3}{x} \leq x + 2

Portiamo la disequazione nella forma

\frac{N (x)}{D (x)} \geq 0

\frac{N (x)}{D (x)} \leq 0

\frac{3}{x} - x - 2 \leq 0

;
________

\geq 0

.
Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.

N \geq 0 \to x^{2} + 2 x - 3 \geq 0 \to

________

D > 0 \to x > 0

La frazione è positiva o nulla per:

- 3 \leq x < 0 \lor x \geq 1

.
Lo schema grafico con gli insiemi delle soluzioni è quello in figura ________.
Le soluzioni del sistema sono:
________.

Completamento chiuso

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

{\begin{cases} 6 x^{2} + 7 x - 5 > 0 \\ 7 x + 2 - 4 x^{2} > 0 \\ x^{2} > 2 x \end{cases}

{\begin{cases} 6 x^{2} + 7 x - 5 > 0 \\ 7 x + 2 - 4 x^{2} > 0 \\ x^{2} > 2 x \end{cases}

Risolviamo la prima disequazione:

6 x^{2} + 7 x - 5 > 0 \to x < - \frac{5}{3} \lor x > \frac{1}{2} .

Risolviamo la seconda disequazione:

- 4 x^{2} + 7 x + 2 > 0 \to

________.
Risolviamo la terza disequazione:

x^{2} - 2 x > 0 \to x < 0 \lor x > 2

.
Compiliamo lo schema ________.

La soluzione del sistema è
________

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione fratta nell'incognita

x

\frac{2 x^{2} + 7 x - 15}{- 3 x^{2} + 7 x - 2} < 0

\frac{2 x^{2} + 7 x - 15}{- 3 x^{2} + 7 x - 2} < 0

Studiamo il segno del numeratore:

2 x^{2} + 7 x - 15

________

0 \to

________.
Studiamo il segno del denominatore:

- 3 x^{2} + 7 x - 2

________

0 \to

________.
Compiliamo lo schema dei segni.

Le soluzioni della disequazione sono quindi
________.

Completamento chiuso

Quali tra le seguenti sono le soluzioni del sistema

{\begin{cases} \frac{3}{2} > \frac{3 - x}{x + 2} \\ \frac{x - 2}{x + 1} < 1 \end{cases}

Scelta multipla

Associa a ogni disequazione o sistema di disequazioni il suo risultato.

1.

\frac{x^{2} - 1}{x + 2} \leq 0

________

2.

{\begin{cases} x^{2} - 1 \geq 0 \\ x + 2 < 0 \end{cases}

________

3.

{\begin{cases} x^{2} - 1 \leq 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases}

________

4.

\frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 1} \leq 0

________

Posizionamento

Trova il dominio di

f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 6 x}

e calcola per quali valori di

x

si ha

0 \leq f (x) < 1

.

Il dominio di

f (x)

è dato da tutti i valori di

x

tali che il denominatore sia ________ zero:

x^{2} - 6 x \neq 0

;

x \neq 0 \land x \neq

________.
Trovare i valori di

x

per cui si ha

0 \leq f (x) < 1

significa risolvere il sistema:
________.

Prima disequazione

\frac{x^{2}}{x^{2} - 6 x} \geq 0

Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.

N \geq 0 \to x^{2} \geq 0 \to

________, si annulla per

x = 0

;

D > 0 \to x^{2} - 6 x > 0 \to x (x - 6) > 0 \to

________.
Il quadro dei segni è rappresentato in figura a.

La prima disequazione ha soluzione:
________.

Seconda disequazione

\frac{x^{2}}{x^{2} - 6 x} < 1

________

< 0

Studiamo i segni del numeratore e del denominatore.

N > 0 \to 6 x > 0 \to x > 0

;

D > 0 \to x^{2} - 6 x > 0 \to x (x - 6) > 0 \to

________.
Il quadro dei segni è rappresentato in figura b.

La seconda disequazione è quindi verificata per:
________.
Per trovare le soluzioni del sistema, rappresentiamo graficamente le soluzioni delle due disequazioni (figura c.) e cerchiamo i valori di

x

per cui sono
verificate entrambe.

Quindi

0 \leq f (x) < 1

è soddisfatta per:
________.

Completamento chiuso