Fai il punto sulle competenze - La risoluzione delle dis di secondo grado e di grado superiore #458096

Associa a ogni disequazione le sue soluzioni.

1.

x^{4} - 4 x^{2} + 5 > 0

________

2.

x^{4} + 5 x^{2} + 4 \leq 0

________

3.

- 5 x^{4} - x^{3} - 4 x^{2} \geq 0

________

4.

- x^{4} - 4 x^{3} - 5 x^{2} < 0

________

Posizionamento

Associa a ciascuna soluzione grafica, evidenziata in rosso, la disequazione corrispondente.

1. ________
2. ________
3. ________
4. ________

Posizionamento

Risolvi la seguente disequazione.

(x - 2) (x - 3) + 5 (x - \frac{2}{5}) < 8

(x - 2) (x - 3) + 5 (x - \frac{2}{5}) < 8

x^{2} - 2 x - 3 x + 6 + 5 x -

________

- 8 < 0

x^{2} -

________

< 0

Passiamo all'equazione associata e risolviamola:

x^{2} -

________

= 0

x_{1} = - 2; x_{2} = 2.

Le soluzioni della disequazione sono quindi:
________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione

x + \sqrt{5} - (2 x - \sqrt{5}) (2 x + \sqrt{5}) \leq \frac{15}{4} + 3 x (1 - x) + \sqrt{5}

x + \sqrt{5} - (2 x - \sqrt{5}) (2 x + \sqrt{5}) \leq \frac{15}{4} + 3 x (1 - x) + \sqrt{5}

x + \sqrt{5} - 4 x^{2} + 5 \leq \frac{15}{4} + 3 x - 3 x^{2} + \sqrt{5}

- x^{2} - 2 x +

________

\leq 0

x^{2} + 2 x -

________

\geq 0

Passiamo all'equazione associata e risolviamola:

x^{2} + 2 x -

________

= 0

Δ =

________

x_{1} = - \frac{5}{2}

;

x_{2} = \frac{1}{2}

.

Le soluzioni della disequazione sono quindi:
________.

Completamento chiuso

Vero o falso?

A:

La disequazione

3 x^{2} + \frac{4}{3} > 0

è verificata solo per

x < - \frac{2}{3} \lor x > \frac{2}{3}

.

B:

La soluzione della disequazione

\frac{25}{4} x^{2} \leq 0

è

x = 0

.

C:

La disequazione

x^{2} \leq \frac{4}{9}

è equivalente a

x \leq \frac{2}{3}

.

D:

La disequazione

(3 x - 4)^{2} \leq 0

è impossibile.

Vero o falso

Risolvi la seguente disequazione.

(x^{2} + 5 x - 6) (1 - x) (x^{2} - 2 x + 1) \geq 0

Per studiare il segno del prodotto, studiamo separatamente i segni di ogni singolo fattore.
Primo fattore

F_{1}

:

x^{2} + 5 x - 6 \geq 0

x^{2} + 5 x - 6 = 0

x = - 6 \lor x =

________

\to

________.

Secondo fattore

F_{2}

:

1 - x \geq 0

________.

Terzo fattore

F_{3}

:

x^{2} - 2 x + 1 \geq 0

x^{2} - 2 x + 1 = 0

x_{1} = x_{2} = 1

\to

________.

Compiliamo il quadro dei segni.

Siamo interessati agli intervalli in cui il prodotto è positivo o uguale a zero.
La soluzione della disequazione di partenza è:
________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione

(x + 5)^{2} - (x - 3) (2 x + 1) > 12 (x + 2) + 4

.

(x + 5)^{2} - (x - 3) (2 x + 1) > 12 (x + 2) + 4

x^{2} + 10 x + 25 - 2 x^{2} + 6 x - x + 3 > 12 x + 24 + 4

- x^{2} + 3 x > 0

x^{2}

________

3 x

________

0

Passiamo all'equazione associata e risolviamola:

x^{2}

________

3 x = 0

x (x

________

3) = 0

x_{1} = 0

;

x_{2} =

________.

Le soluzioni della disequazione sono quindi:
________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione

3 (1 - x)^{2} - (5 + x) (5 - x) \geq 3 x (x - 1) + 6

.

3 (1 - x)^{2} - (5 + x) (5 - x) \geq 3 x (x - 1) + 6

3 (1 - 2 x + x^{2}) - 25

________

x^{2} \geq 3 x^{2} - 3 x + 6

x^{2} - 3 x - 28 \geq 0

Passiamo all'equazione associata e risolviamola:

x^{2} - 3 x -

________

= 0

Δ =

________

x_{1} = - 4

;

x_{2} =

________.

Le soluzioni della disequazione sono quindi:
________.

Completamento chiuso

La disequazione

a x^{2} + b x + c \leq 0

è sicuramente equivalente a:

A:

(a x^{2} + b x + c) (- x^{2} - 1) \leq 0

.

B:

(a x^{2} - b x + c) + 1 \leq 0

.

C:

(a x^{2} + b x + c) (x + 1)^{2} \leq 0

.

D:

(a x^{2} + b x + c) (x^{2} + 1) \leq 0

.

Scelta multipla

Disegna le due parabole di equazioni

f (x) = x^{2} - x - 6

e

g (x) = - x^{2}

.

Determina algebricamente e graficamente per quali valori di

x

si ha:
a.

g (x) < 0

;
b.

f (x) \leq 0

;
c.

g (x) < f (x)

.

Disegniamo i grafici delle due parabole nello stesso piano cartesiano: in blu disegniamo il grafico di

y = f (x)

e in rosso il grafico di

y = g (x)

.

Osservando il grafico troviamo le soluzioni delle disequazioni.
a.

g (x) < 0

se ________.
b.

f (x) \leq 0

se ________.
c.

g (x) < f (x)

se ________.

Risolviamo le disequazioni anche algebricamente:
a.

- x^{2} < 0 \to

x^{2}

________

0

\to

________;
b.

x^{2} - x - 6 \leq 0 \to

________

\leq 0

\to

________.
c.

- x^{2} < x^{2} - x - 6

\to

2 x^{2} - x - 6

________

0

Δ = 49 \to x_{1} = 2

e

x_{2} =

________

\to

________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione letterale nell'incognita

x

, discutendo al variare del parametro

a \in R

.

x^{2} + (a - 4) x - 4 a \leq 0

x^{2} + (a - 4) x - 4 a \leq 0

Passiamo all'equazione associata e risolviamola.

x^{2} + (a - 4) x - 4 a = 0

Δ = (a - 4)^{2} + 16 a =

a^{2} + 8 a + 16 = (a

________

4)^{2}

Il delta dell'equazione associata è una quantità ________ a zero

\forall a \in R

, per questo l'equazione associata avrà sempre almeno una soluzione.

Nel caso in cui

a = - 4

, si ha

Δ = 0

e l'equazione associata ha come unica soluzione

x = 4

, quindi la soluzione della disequazione è

x

________

4

.

Se

a \neq - 4

, l'equazione associata ha come soluzioni distinte

x_{1} = 4 \lor x_{2} = - a

.
Se

a

________

- 4

si ha che

x_{1} < x_{2}

e dunque le soluzioni della disequazione sono

4 \leq x \leq - a

.

Se

a

________

- 4

si ha che

x_{2} < x_{1}

e dunque le soluzioni della disequazione sono ________.

Completamento chiuso

a

e

b

sono due numeri maggiori o uguali a zero. Sappiamo che

a^{3} + a < b - b^{3}

. Qual è l'ordine corretto fra i tre numeri

a

,

b

e

1

?

Sappiamo che

a

,

b \geq 0

.
Quindi

a^{3} + a \geq 0

e, poiché

a^{3} + a < b - b^{3}

abbiamo

b - b^{3}

________

0

.
Quindi abbiamo che

b (1 - b^{2}) > 0

, da cui
________.
Poiché

b \geq 0

allora

0 < b < 1

, da cui

0 < b^{3} < b < 1

.
Se fosse

a > b

avremmo

a^{3} > b^{3}

perché

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

con

a - b > 0

e

a^{2} + a b + b^{2}

________

0

.
Infine, da

b > 0

abbiamo

b^{3} > - b^{3}

.
Quindi

a^{3} + a

________

b - b^{3}

, ma questo è un assurdo.
Quindi

a < b < 1

.

Completamento chiuso

La disequazione

- (1 - 3 x)^{2} - (3 x - 1)^{2} \geq - 2

:

A:

è equivalente a

(3 x - 1)^{2} + (1 - 3 x)^{2} \geq 2

.

B:

è verificata

\forall x \in R

.

C:

è verificata per

x \leq 0 \lor x \geq \frac{2}{3}

.

D:

è equivalente a

9 x^{2} - 6 x \leq 0

.

Vero o falso