Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - La moltiplicazione e la divisione fra radicali

Fai il punto sulle competenze - La moltiplicazione e la divisione fra radicali

12 esercizi

SVOLGI

INFO

Quale delle seguenti uguaglianze è errata? Supponi verificate le C.E.

\sqrt{z^{9}} = z^{4} \sqrt{z}

\sqrt{5 (4 x^{2} - 4 x + 1)} = (2 x - 1) \sqrt{5}

\sqrt{\frac{16}{25}} x (y + 1)^{2} = \frac{4}{5} | y + 1 | \sqrt{x}

\sqrt{x^{4}} = x^{2}

Scelta multipla

Associa a ciascuna espressione della prima colonna la relativa semplificazione nella seconda colonna. Supponi che siano verificate le C.E..

\sqrt[3]{\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1}} \cdot \sqrt{\frac{x + 1}{x}} : \sqrt[3]{\frac{1}{x}}

________

\sqrt{x - \frac{4}{x}} : \sqrt[4]{x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8} \cdot \sqrt{\frac{x}{x - 2}}

________

\sqrt{x - \frac{16}{x^{3}}} : \sqrt{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8} \cdot \sqrt{x}

________

\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 14 x + 49}{x^{2} - x - 56}} : (\sqrt[3]{\frac{x + 7}{x^{2}}} : \sqrt{\frac{x - 8}{x}})

________

Posizionamento

Una sola delle seguenti uguaglianze è corretta. Quale? Supponi verificate le C.E.

\sqrt{a^{3} x^{4}} = a x^{2} \sqrt{a}

\sqrt{a^{3} x^{6}} = | a | x^{3} \sqrt{a}

\sqrt{a^{2} x} = a \sqrt{x}

\sqrt{a^{2} x^{4}} = a x^{2}

Scelta multipla

Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili. Supponi che i fattori da trasportare non siano negativi.

\sqrt{\frac{32 (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{27 x^{5} + 9 x^{3}}}

Scomponiamo il radicando:

\sqrt{\frac{32 (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{27 x^{5} + 9 x^{3}}} =

________

Trasportiamo fuori dal segno di radice:
________

\cdot \sqrt{\frac{2 (x + 1)}{x (3 x^{2} + 1)}}

Completamento chiuso

Completa le seguenti uguaglianze. Supponi che siano verificate le C.E..

a.

\sqrt{\frac{10}{27}} \cdot

________

\cdot \sqrt{\frac{1}{4}} = 1

\sqrt{1 - \frac{7}{12}} \cdot \sqrt{1 + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot

________

=

\sqrt{\frac{2}{3}}

c. ________

\cdot \sqrt[5]{- \frac{4}{81}} : \sqrt[5]{\frac{1}{2}} =

- \frac{2}{3}

\sqrt[4]{\frac{x^{5}}{x^{2} - 1}} : (\sqrt[4]{\frac{1}{x - 1}} \cdot

________

) =

\sqrt[4]{x^{3}}

Completamento chiuso

Vero o falso?

\sqrt{48} = \sqrt{(- 16) (- 3)} = - 4 \sqrt{3}

\sqrt{(- 2) (- 18)} = \sqrt{36} = 6

\sqrt[3]{- 72} = - \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{9} = - 2 \cdot \sqrt[3]{9}

\sqrt{24} : \sqrt{3} = \sqrt[4]{8}

\sqrt[5]{120} : \sqrt[5]{- 4} = - \sqrt[5]{30}

Vero o falso

Determina la misura dell'altezza di un triangolo di base

\sqrt[3]{5}

cm e area

\frac{\sqrt[6]{675}}{2}

cm².

Indichiamo rispettivamente con

b

h

A

le misure della base, dell'altezza e dell'area del triangolo.
Sappiamo che ________.
Quindi ricaviamo

h =

________.
Sostituiamo le misure note e ricaviamo:

h = \frac{2 \sqrt[6]{675}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{5}} = \frac{\sqrt[6]{675}}{\sqrt[3]{5}} =

________

=

________

=

________.

Completamento chiuso

Determina le condizioni di esistenza ed esegui la seguente moltiplicazione.

\sqrt{\frac{x^{2} - 8 x + 16}{x}} \cdot \sqrt{\frac{x^{2} + 4 x}{4 x^{2} - 16}}

Scomponiamo i due radicandi:
________

\cdot \sqrt{\frac{x (x + 4)}{4 (x - 2) (x + 2)}}

.

Determiniamo le C.E.:

{\begin{cases} \frac{(x - 4)^{2}}{x} \geq 0 \\ \frac{x (x + 4)}{4 (x - 2) (x + 2)} \geq 0 \end{cases} .

La prima disequazione ha soluzioni:

x

________.
Per risolvere la seconda disequazione ci serve la tabella dei segni in figura ________, da cui ricaviamo le soluzioni:
________.
Il sistema ha quindi soluzioni:

x > 2

.
Eseguiamo la moltiplicazione:

\sqrt{\frac{(x - 4)^{2}}{x}} \cdot \sqrt{\frac{x (x + 4)}{4 (x - 2) (x + 2)}} =

\sqrt{\frac{x (x - 4)^{2} (x + 4)}{4 (x - 2) (x + 2)}}

.
Trasportiamo fuori dal segno di radice:

\sqrt{\frac{x (x - 4)^{2} (x + 4)}{4 (x - 2) (x + 2)}} =

________

\cdot \sqrt{\frac{x + 4}{(x - 2) (x + 2)}}

,
con

x > 2

Completamento chiuso

Considera la funzione

f (x) = \sqrt{\frac{27}{4} (x^{5} + 4 x^{4} + 4 x^{3})}

.
a. Determina il dominio di

f (x)

.
b. Riscrivila portando fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili.
c. Trova gli zeri della funzione.

a. Scomponiamo il radicando:

\sqrt{\frac{27}{4} (x^{5} + 4 x^{4} + 4 x^{3})} =

________.
Il dominio è quindi

D

: ________.

b. Trasportiamo fuori dal segno di radice:

\sqrt{\frac{3^{3}}{2^{2}} x^{3} (x + 2)^{2}} =

\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot

________

\cdot

________
con

x \geq 0

.

c. Troviamo gli zeri della funzione:

f (x) = 0 \to

\sqrt{\frac{3^{3}}{2^{2}} x^{3} (x + 2)^{2}} = 0

.
Poiché un radicale è nullo se il suo argomento è nullo, otteniamo:
________.

Completamento chiuso

Vero o falso?

\sqrt[3]{\frac{81}{125}} = \frac{3}{5} \sqrt[3]{3}

\sqrt{2 + \frac{2}{9}} = \frac{2}{3} \sqrt{10}

\sqrt{1 - \frac{11}{27}} = \frac{2}{3} \sqrt[3]{2}

\sqrt[3]{\frac{1}{6}} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \sqrt[6]{3}

Vero o falso

Dopo aver eseguito le moltiplicazioni e le divisioni indicate, trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili, supponendoli positivi.

\sqrt[6]{\frac{1}{2 x - 4}} : \sqrt{\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{4 x + 8}} \cdot \sqrt[3]{x^{4} - 8 x^{2} + 16}

Scomponiamo tutti i radicandi:

\sqrt[6]{\frac{1}{2 (x - 2)}} :

________

\cdot

________.

Riduciamo tutti i radicali allo stesso indice, poi eseguiamo la divisione e la moltiplicazione:

\sqrt[6]{\frac{1}{2 (x - 2)}} :

________

\cdot

________

=

________

\cdot

________

=

\sqrt[6]{\frac{32 (x + 2)^{7}}{(x - 2)^{6}}} .

Trasportiamo fuori dal segno di radice:
________

\cdot

________.

Completamento chiuso

Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili dopo aver posto le C.E.

\sqrt{\frac{9 y (2 - y)^{2}}{(y^{2} - 4) (y^{2} + 2 y)}}

Scomponiamo il radicando:

\sqrt{\frac{9 y (2 - y)^{2}}{(y^{2} - 4) (y^{2} + 2 y)}} =

________

=

________
Osserviamo che, per

y \neq

________, il radicando è maggiore o uguale a zero se

y - 2

________

0

.
Dunque C.E.:

y

________

2

.
Trasportiamo fuori dal segno di radice:
________

\sqrt{y - 2}

Completamento chiuso