Fai il punto sulle competenze - La lunghezza della circonferenza e l'area del cerchio #461108

Gli ottagoni della struttura in acciaio e vetro della figura sono regolari. Dimostra che:
a. i triangoli

O A B

e

O^{'} A^{'} B^{'}

sono simili;
b. il rapporto tra i raggi delle due circonferenze è uguale al rapporto tra i perimetri dei due ottagoni inscritti.

Essendo i due ottagoni regolari, abbiamo che i due triangoli

O A B

e

O^{'} A^{'} B^{'}

hanno tutti gli ________ uguali e quindi sono simili per il ________ criterio di similitudine.

Applichiamo il teorema dei poligoni regolari, abbiamo che in due ottagoni regolari ________ sono proporzionali ai raggi delle circonferenze circoscritte:

2 p : 2 p^{'} =

________.

Completamento chiuso

Le tre circonferenze in figura hanno raggio uguale a

6

cm e sono a due a due tangenti. Calcola l'area della superficie colorata.

L'area del triangolo equilatero è:

A_{t} = \frac{1}{2} (12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} 12) =

________

\sqrt{3}

cm².

La somma dei tre settori circolari è equivalente alla ________ di raggio

6

cm:

A_{c} =

________

=

________ cm².

L'area colorata è quindi:

A_{c o l o r a t a} = 36 \sqrt{3} -

________

=

18 (2 \sqrt{3} - π)

cm².

Completamento chiuso

La circonferenza grande in figura è lunga

10

m. Le

10

circonferenze piccole hanno i centri allineati su un diametro della circonferenza grande. Le due circonferenze piccole più esterne sono tangenti internamente alla circonferenza grande; ciascuna delle altre è tangente esternamente alle due a essa contigue. Quanto vale la somma delle misure delle circonferenze piccole?

A:

1

m.

B:

5

m.

C:

10

m.

D:

100

m.

E:

Dipende dal diametro delle singole circonferenze.

Scelta multipla

Considera il quadrato

A B C D

di lato

l

in figura e determina l'area della regione colorata, delimitata dalle semicirconferenze di diametri

A B

e

A D

e dall'arco di circonferenza di centro

A

ed estremi

B

e

D

.

L'area della regione colorata è:

A = π {(\frac{l}{π})}^{2} +

________

π l^{2}

=

________.

Completamento chiuso

Sia

M N

una corda di una circonferenza di centro

O

, e la sua distanza

O H

dal centro sia

6

cm. Sapendo che l'angolo

H \hat{N} O

è di

30^{\circ}

, calcola la misura dell'area del settore circolare avente per angolo al centro l'angolo

M \hat{O} N

.

Il raggio della circonferenza è di ________ cm.
Abbiamo quindi che l'area della circonferenza è:

A_{c i r c o n f e r e n z a} = 144 π

cm².
L'area del settore circolare è:

A_{s e t t o r e} =

________

=

________

π

cm².

Completamento chiuso

Dimostra che in due triangoli simili due lati omologhi stanno fra loro come i raggi delle circonferenze inscritte e come i raggi di quelle circoscritte.

Sia

k

il rapporto di similitudine, abbiamo che il rapporto tra i raggi delle circonferenze inscritte è uguale a:

\frac{r}{r^{'}} = \frac{A}{p} \cdot \frac{p^{'}}{A^{'}} =

________

=

________.

Il rapporto tra i raggi delle circonferenze circoscritte è:

\frac{R}{R^{'}} = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot A} \cdot \frac{4 \cdot A^{'}}{a^{'} \cdot b^{'} \cdot c^{'}} =

________

=

________.

Completamento chiuso

Determina il perimetro e l'area della regione colorata in figura in cui gli archi

\overset{⌢}{A B}

,

\overset{⌢}{A O}

e

\overset{⌢}{B O}

sono semicirconferenze.

Il perimetro della regione colorata è:

P =

________

+ 3 π + 3 π =

________

π

dm.

L'area della regione colorata è:

A = \frac{36 π}{2} -

________

= 9 π

dm².

Completamento chiuso

L'area del cerchio più grande in figura è

676 π

cm². Calcola l'area della parte colorata.

Il raggio del cerchio più grande è di ________ cm.

L'area del triangolo è di ________ cm² e l'area del cerchio piccolo è di ________

π

cm².

L'area colorata è:

A_{c o l o r a t a} =

(676 π -

________

π -

________

)

cm²

=

________ cm².

Completamento chiuso

Una corona circolare ha area

16 π

cm² e il raggio della circonferenza interna è i

\frac{3}{5}

del raggio della circonferenza esterna. Calcola:
a. la lunghezza del contorno della corona circolare;
b. l'area del quadrato inscritto in un cerchio isoperimetrico alla corona.

a. Siano

R

,

r

rispettivamente i raggi della circonferenza esterna e interna.
Abbiamo che:

π R^{2}

________

π {(\frac{3}{5} R)}^{2} = 16 π

, da cui

R =

________,

r = 3

.
La lunghezza del contorno della corona circolare è:

C = (2 \cdot 5 \cdot π + 2 \cdot 3 \cdot π)

cm

=

16 π

cm.

b. Il cerchio isoperimetrico alla corona ha raggio di ________ cm.
Quindi il lato del quadrato inscritto è

ℓ

=

________ cm.
L'area del quadrato è

A = ℓ^{2} = 128

cm².

Completamento chiuso

Il cerchio in figura ha area

4 π

cm² e il triangolo inscritto è equilatero. Determina l'area della regione colorata.

Il raggio del cerchio è:

r =

________ cm.
Abbiamo quindi che l'altezza del triangolo equilatero è:

h =

________ cm.
Il lato del triangolo equilatero è:

l =

________

\sqrt{3}

cm.
Abbiamo quindi che l'area del triangolo equilatero è:

A =

________

= 3 \sqrt{3}

cm².
L'area della regione colorata è quindi di

A_{c o l o r a t a} = (4 π

________

3 \sqrt{3})

cm².

Completamento chiuso