Fai il punto sulle competenze - La funzione quadratica e la parabola #459220

La parabola di equazione

y = (a^{2} - 1) x^{2} - 2 x + a

passa per il punto

(2; 10)

. Quanto vale

a

?

Sostituiamo

x = 2

e

y = 10

:
________

=

________

(a^{2} - 1) - 4 + a

.
Semplifichiamo e risolviamo:

4 a^{2} + a - 18 = 0 \to

4 a^{2} - 8 a + 9 a - 18 = 0 \to

4 a (a - 2) + 9 (a - 2) = 0 \to

(a

________

2) (4 a

________

9) = 0 \to

a = 2 \lor a = - \frac{9}{4}

.

Completamento chiuso

Le diagonali di un rombo sono lunghe

(2 x + 4)

cm e

(\frac{1}{2} x - 1)

cm.
Indica quali valori può assumere

x

ed esprimi l'area del rombo

A (x)

in funzione di

x

. Per quali valori di

x

l'area vale

20

cm²?

Imponiamo:
•

2 x + 4

________

0 \to x > - 2

;
•

\frac{1}{2} x - 1 > 0 \to x

________

2

;
quindi

x >

________.
Troviamo

A (x) = \frac{(2 x + 4) (\frac{1}{2} x - 1)}{2} =

(x + 2)

(

________

- 1) =

________

+ x - x

________

2 =

________________

2

.
Quindi imponiamo

20 =

________________

2

e risolviamo:

x^{2} =

________

\to

x =

________.
L'unico valore accettabile è

x = 2 \sqrt{11}

cm.

Completamento chiuso

Per quali valori del parametro

k

la parabola di equazione

y = x^{2} - 4 k^{2}

interseca gli assi cartesiani in tre punti che formano un triangolo rettangolo?

A:

k = \pm \frac{1}{4}

B:

k = 0

C:

k = \pm \frac{1}{2}

D:

k = 1

Scelta multipla

Considera la scatola di cartone della figura.
a. Trova l'area totale

A

della scatola in funzione di

x

e rappresenta la funzione ottenuta.
b. Quanti cm² di cartone sono necessari per costruirla se

x = 3

cm?
c. Quanto deve misurare

x

se

A = 130

cm²?

a. La scatola di cartone è un ________ a base quadrata con

x

________

0

.
Quindi la funzione dell'area totale è

A (x) =

________

+ 4 \cdot 4 x

=

________

+ 16 x

.
Il grafico di

A (x)

è una parabola con concavità verso ________ che interseca l'asse

x

nei punti di ascissa ________ e ________.

b. Troviamo

A (

________

) =

2 \cdot 3^{2} + 16 \cdot

________

=

________ cm².

c. Risolviamo l'equazione

130 = 2 x^{2} + 16 x

:

65 =

________

+ 8 x \to

x^{2}

________

8 x

________

65 = 0 \to

(x

________

13) (x

________

5) = 0 \to

x =

________

\lor

x =

________.
Quindi

x

deve misurare ________ cm.

Completamento chiuso

La parabola di equazione

y = x^{2} - (b - 3) x

interseca l'asse

x

nell'origine e nel punto di ascissa

5

. Quanto vale

b

?

Sostituiamo le coordinate dei punti

(0; 0)

e ________:

0 = 0 - (b - 3) \cdot 0 \to 0 = 0

,
non possiamo così determinare il valore di

b

;

0 = 25

________

(b

________

3) \cdot 5 \to

5 b

________

15 = 25

\to

5 b =

________

\to b =

________.

Completamento chiuso

Scrivi l'equazione della parabola rappresentata nella figura e le coordinate del suo vertice

V

.

Le coordinate dei punti del grafico sono

(- 1; 0)

,

(5; 0)

e

(0; \frac{5}{2})

.
Sostituiamo le coordinate nell'equazione generica

y = a x^{2} + b x + c

e mettiamole a sistema:
________.
Risolviamo il sistema:

{\begin{cases} - 25 = 10 a - 10 b \\ - 5 = 50 a + 10 b \\ c = \frac{5}{2} \end{cases} \to

{\begin{cases} 60 a = - 30 \\ - 5 = 50 a + 10 b \\ c = \frac{5}{2} \end{cases} \to

________.
L'equazione della parabola cercata è dunque

y = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + \frac{5}{2}

.
Le coordinate del vertice sono

V (- \frac{2}{2 \cdot (- \frac{1}{2})};

________

)

,
cioè

V (2; \frac{9}{2})

Completamento chiuso

Vero o falso?

A:

La parabola di equazione

y = 3 x - x^{2} + 1

ha concavità rivolta verso l'alto.

B:

Il vertice della parabola di equazione

y = x^{2} - 6

giace sull'asse

x

.

C:

La parabola di equazione

y = 26 x^{2} - 2 \sqrt{2} x + 7

interseca l'asse

y

nel punto

(0; 7)

.

D:

L'asse delle ascisse non interseca la parabola di equazione

y = x^{2} - 3 x + 3

.

Vero o falso

La parabola in figura ha equazione

y = a x^{2} + b x + c

. Stabilisci se le seguenti affermazioni sui coefficienti

a

,

b

e

c

sono vere o false.

A:

b = 3

B:

a > 0

C:

c = 0

D:

b = 0

E:

b^{2} - 4 a c > 0

Vero o falso

Due numeri sono tali che la loro somma è

14

. Qual è il massimo valore che può assumere il loro prodotto?

Chiamiamo i due numeri

x

e

14

________

x

.
Scriviamo il prodotto

P (x) = x (14 - x) = 14 x - x^{2}

.

P (x)

è una parabola con concavità verso ________.
Troviamo il vertice di

P (x)

:

(- \frac{14}{- 2}; - \frac{196}{- 4}) \to

V (

________;

49

)

.
Quindi il valore massimo che il prodotto può assumere è

49

.

Completamento chiuso

Una pedana di forma rettangolare ha i lati di lunghezza

(7 - x)

m e

(5 + x)

m.
a. Trova l'area della pedana in funzione di

x

, specificando quali valori può assumere

x

.
b. Determina qual è l'area se

x = 0, 5

m.

a. Imponiamo:
•

7 - x > 0 \to x

________

7

;
•

5 + x > 0 \to x

________

- 5

;
quindi ________.
Troviamo

A (x) = (7 - x) (5 + x) =

35

________

5 x

________

7 x - x^{2} =

- x^{2}

________

2 x + 35

.

b. Calcoliamo:

A (0, 5) =

35

________

2 \cdot 0, 5

________

(0, 5)^{2} =

35, 75

cm².

Completamento chiuso

Una lattina di aranciata ha forma cilindrica e altezza

12

cm.
a. Dimostra che, se il raggio di base è variabile e uguale a

x

, il suo volume è

V = 12 π x^{2}

.
b. Rappresenta graficamente la funzione quadratica che hai ottenuto.
c. Trova per quale valore del raggio la lattina contiene

600

cm³ di aranciata.

a. L'area del cerchio di base

A (x) =

________ cm² e l'altezza è

12

cm quindi

V (x) = 12 π x^{2}

cm³.

b.

V (x) = 12 π x^{2}

è una parabola con vertice nell'origine e concavità verso ________.

c. Imponiamo

12 π x^{2} = 600

e risolviamo:

x^{2} = \frac{50}{π} \to

________.
Accettiamo sono

x = \frac{5}{π} \sqrt{2 π} ≃ 3, 99

cm.

Completamento chiuso

Determina per quale valore di

x

la figura colorata, inscritta nel rettangolo

A B C D

, ha area minima e calcola il valore di questa area.

L'area del rettangolo

A B C D

è

20 \cdot 10 = 200

cm²;
l'area del triangolo

A B F

è
________

=

(100 - 10 x)

cm²;
l'area del triangolo

B E C

è

\frac{10 \cdot 2 x}{2} =

________ cm²;
l'area del triangolo

D E F

è
________

=

(10 x - x^{2})

cm²;
quindi l'area colorata è

A (x) =

200

________

(100 - 10 x + 10 x + 10 x - x^{2}) =

x^{2} - 10 x + 100

.
La funzione

A (x)

è rappresentata da una parabola con concavità verso ________.
Possiamo quindi trovare le coordinate del ________ della parabola:

(- \frac{b}{2 a}; - \frac{Δ}{4 a}) \to

V (

________; ________

)

\to

V (

________;

75)

.
Quindi il valore di

x

per il quale si assume l'area minima di

75

cm² è ________ cm.

Completamento chiuso