Fai il punto sulle competenze - Iperboli e rette

Considera l'iperbole di equazione $x^2-16y^2=-4$ e indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

Quale dei seguenti grafici rappresenta la disequazione ${\displaystyle \frac{1}{2}(x+7)<\sqrt{2x^2+7}}$ ?

________

Associa a ciascuna retta la sua posizione rispetto all'iperbole di equazione $4x^2-9y^2=-36$.

$y=2$   ________

${\displaystyle y=-x+\frac{1}{2}}$   ________

${\displaystyle y=-\frac{1}{2}x-1}$   ________

Qual è la misura della corda staccata dalla retta $3x+8y=9$ sull'iperbole di equazione $9x^2-16y^2=81$ ?

Quale delle seguenti rette è tangente all'iperbole $3x^2-y^2=3$ nel suo punto di ascissa $x=-2$ e ordinata negativa?

Data l'equazione $k{x}^2-(k+2)y^2+k+2=0$, $k\in \mathbb{R}$, stabilisci per quali valori di $k$ rappresenta un'iperbole, specificando se ha i fuochi sull'asse $x$ o sull'asse $y$.
a.   Per quali valori di $k$ l'iperbole è tangente alla retta di equazione $x+2y=1$ ?
b.   Preso $k=1$, determina le tangenti all'iperbole condotte da ${\displaystyle P(0;\frac{1}{2})}$, indica con $A$ e $B$ i punti di tangenza e calcola l'area del triangolo $APB$.

1.   Scriviamo l'equazione data in forma canonica:
${\displaystyle \frac{x^2}{\frac{k+2}{k}}-y^2=-1\to }$
${\displaystyle a^2=\frac{k+2}{k}}$ e $b^2=1$.
Poniamo la condizione di esistenza $a^2>0$, otteniamo:
________.
Per tali valori di $k$, l'equazione data rappresenta un'iperbole con i fuochi sull'asse ________.
2.   Per trovare i valori di $k$ per cui l'iperbole è tangente alla retta $x+2y=1$, mettiamo a sistema le loro equazioni e risolviamo con il metodo di sostituzione:
$\{\begin{array}{c}x=1-2y\\ k{x}^2-(k+2)y^2+k+2=0\end{array}\to$
$\{\begin{array}{c}x=1-2y\\ (3k-2)y^2-4ky+(2k+2)=0\end{array}.$
3.   Determiniamo il ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{4}}$ e imponiamo la condizione di tangenza
${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{4}}$ ________ $0$.
Otteniamo:
${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{4}=4k^2-(3k-2)(2k+2)=0\to }$
$(k+2)(k-1)=0\to$
________.
Consideriamo solo la soluzione $k=$ ________ perché $k=-2$ non è accettabile per le condizioni di esistenza su $a$.
4.   Per $k=1$, l'equazione dell'iperbole è
$x^2-3y^2$ ________ $3=0$.
Determiniamo le rette tangenti all'iperbole condotte dal punto $P$ mettendola a sistema con il fascio di rette per $P$: ${\displaystyle y=mx+\frac{1}{2}}$.
$\{\begin{array}{c}{\displaystyle y=mx+\frac{1}{2}}\\ x^2-3y^2+3=0\end{array}\to$
$\{\begin{array}{c}{\displaystyle y=mx+\frac{1}{2}}\\ {\displaystyle (1-3m^2)x^2-3mx+\frac{9}{4}=0}\end{array}$
Imponiamo la condizione di tangenza $\mathrm{\Delta }=0$, otteniamo:
$\mathrm{\Delta }=36m^2-9=0\to m=$ ________.
Allora le rette tangenti sono $x+2y-1=0$ e ________.
5.   Troviamo i punti di tangenza $A$ e $B$:
$\{\begin{array}{c}x+2y-1=0\\ x^2-3y^2+3=0\end{array}\to$
$\{\begin{array}{c}x=1-2y\\ (y-2{)}^2=0\end{array}\to A($ ________; $2)$;
$\{\begin{array}{c}x-2y+1=0\\ x^2-3y^2+3=0\end{array}\to$
$\{\begin{array}{c}x=2y-1\\ (y-2{)}^2=0\end{array}\to B(3;$ ________$)$.
6.   

Per trovare l'area del triangolo $APB$, determiniamo la misura della base $AB$ e dell'altezza $HP$:
$\overline{AB}=|3-$ ________ $|=6$;
$\overline{HP}={\displaystyle |2-\left(\frac{1}{2}\right)|=\frac{3}{2}}$.
Allora l'area è ${\displaystyle A=\frac{\overline{AB}\cdot \overline{HP}}{2}=}$ ________.