Fai il punto sulle competenze - Integrazione per sostituzione e per parti #564522

Matematica

Vero o falso?

A:

\int \frac{2}{\sqrt{2 - 5 x}} d x = - 4 \sqrt{2 - 5 x} + c

B:

\int \frac{1}{2 \sqrt{x} + 2} d x = \ln (x^{2} + 1) + c

C:

\int \frac{3 \sin x}{1 + 6 \cos x} d x = - \frac{1}{2} \ln | 6 \cos x + 1 | + c

D:

\int \frac{e^{2 x}}{\sqrt{3 - e^{2 x}}} d x = \sqrt{3 - e^{2 x}} + c

Vero o falso

1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile). Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro assistenza

Matematica

La primitiva della funzione

f (x) = x^{2} \cdot 4 \cos (2 x)

è:

A:

F (x) = \frac{1}{3} x^{3} \cdot 2 \sin (2 x) + c

.

B:

F (x) = - 2 x \cdot 8 \sin (2 x) + c

.

C:

F (x) =

x^{2} \cdot 2 \sin (2 x) + x \cdot 2 \cos (2 x) - \sin (2 x) + c

.

D:

F (x) = \frac{1}{3} x^{3} \cdot 2 \sin (2 x) - 2 x \cdot 8 \sin (2 x) + c

.

Scelta multipla

1

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Matematica

Associa a ciascuna sostituzione di variabile il differenziale corrispondente.

\sqrt{2 x + 2} = t

________

\sqrt{x + 2} = t

________

2 \sqrt{x - 2} = t

________

\frac{1}{2} \sqrt{x - 2} = t

________

Posizionamento

1

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Matematica

Una pallina scivola lungo un tratto rettilineo con accelerazione

a (t) = t (1 - \cos t)

, dove

t \geq 0

è il tempo espresso in secondi. Se parte da ferma dall'origine del sistema di riferimento, quanti centimetri ha percorso dopo

10

secondi?

Integriamo la funzione che descrive l'accelerazione della pallina per ottenere la funzione che descrive la velocità:

v (t) = \int a (t) d t = \int t (1 - \cos t) d t =

\int (t - t \cos t) d t = \int t d t - \int t \cos t d t =

________

+ c - (

t \sin t -

\int

________

d t

) =

\frac{t^{2}}{2} - t \sin t - \cos t + c

.
La pallina parte da ferma allora

v (0) =

________:

\frac{0^{2}}{2} - 0 \sin 0 - \cos 0 + c = 0 \to

c =

________.
Possiamo concludere che

v (t) = \frac{t^{2}}{2} - t \sin t - \cos t + 1

.
Integriamo la funzione che descrive la velocità per ottenere la funzione che descrive la traiettoria della pallina:

s (t) = \int v (t) d t =

\int \frac{t^{2}}{2} - t \sin t - \cos t + 1 d t =

\int \frac{t^{2}}{2} d t - \int t \sin t d t - \int \cos t d t + \int d t =

\frac{t^{3}}{6} - \sin t + t \cos t - \sin t +

________

+ c =

\frac{t^{3}}{6} - 2 \sin t + t \cos t + t + d

.
La pallina parte dall'origine del sistema di riferimento allora

s (0) =

________:

\frac{0^{3}}{6} - 2 \sin 0 + 0 \cos 0 + 0 + d = 0 \to

d =

________.
Possiamo concludere che

s (t) = \frac{t^{3}}{6} - 2 \sin t + t \cos t + t

.
Per calcolare lo spazio percorso dopo

10

secondi, dobbiamo calcolare

s (

________

)

:

\frac{10^{3}}{6} - 2 \sin 10 + 10 \cos 10 + 10 ≃ 169, 36

.
Allora dopo

10

secondi la pallina ha percorso circa

169, 36

cm.

Completamento chiuso

1

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Matematica

Completa la famiglia delle primitive

F_{c} (x)

della funzione

f (x) = \frac{- 6 \sin (x)}{1 - \cos (x)}

.

Per

c =

________, il grafico di

F (x)

passa per il punto

(\frac{π}{2}; - 6)

.

Per

c =

________, il grafico di

F (x)

passa per il punto

(\frac{π}{2}; 6)

.

Per

c =

________, il grafico di

F (x)

passa per il punto

(\frac{π}{3}; - 6 \ln \frac{1}{2})

.

Per

c =

________, il grafico di

F (x)

passa per il punto

(\frac{π}{3}; - 6 \ln \frac{1}{2} + 8 \sqrt{3})

.

Completamento chiuso

1

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Matematica

Vero o falso?

A:

\int x \sin x d x =

x \cos x - \int \cos x d x =

x \cos x - \sin x + c

B:

\int 4 x \ln x d x =

2 x^{2} \ln x - \int 2 x d x =

x^{2} (2 \ln x - 1) + c

C:

\int x^{2} e^{2 x} d x =

\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - \int \frac{1}{2} x e^{2 x} =

\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} x e^{2 x} + c

D:

\int \ln 2 x d x = x \ln 2 x - \int 1 d x =

x \ln 2 x - x + c

Vero o falso

1

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Matematica

Considera la funzione

f (x) = \frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}}

. Quale delle sue primitive

F (x)

ha un punto di minimo di ordinata

- 1

?

A:

F (x) = 2 - \sqrt{9 - x^{2}}

B:

F (x) = \sqrt{9 - x^{2}} - 1

C:

F (x) = \sqrt{9 - x^{2}}

D:

F (x) = - 1 - \sqrt{9 - x^{2}}

Scelta multipla

1

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Matematica

La primitiva della funzione

f (x) = \sqrt{64 - x^{2}}

è:

A:

F (x) = 64 \arcsin (\frac{x}{8}) + \sqrt{1 - 8 x^{2}} + c

.

B:

F (x) = 32 \arcsin (\frac{x}{64}) + \frac{1}{2} \sqrt{64 - x^{2}} + c

.

C:

F (x) = 32 \arcsin (\frac{x}{8}) + \frac{x}{2} \sqrt{64 - x^{2}} + c

.

D:

F (x) = 64 \arcsin (\frac{x}{8}) + \frac{x}{2} \sqrt{8 - x^{2}} + c

.

Scelta multipla

1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
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