Fai il punto sulle competenze - Integrazione di funzioni razionali fratte #564475

Quale tra le seguenti funzioni è una primitiva della funzione

f (x) = \frac{7 - 11 x}{x^{3} - 7 x + 6}

?

A:

F (x) = \ln | x - 1 | - 3 \ln | x - 2 | + 2 \ln | x + 3 | + c

B:

F (x) = \ln | x - 1 | - 2 \ln | x - 2 | + 3 \ln | x - 3 | + c

C:

F (x) = \ln | x - 1 | + 3 \ln | x - 2 | - 2 \ln | x - 3 | + c

D:

F (x) = \ln | x - 1 | - 2 \ln | x - 2 | - 3 \ln | x + 3 | + c

Scelta multipla

Associa a ciascun integrale la sua soluzione.

\int \frac{x^{2}}{4 x^{3} - 5} d x

________

\int \frac{- 12 x^{2}}{4 x^{3} - 5} d x

________

\int \frac{24 x^{2}}{4 x^{3} - 5} d x

________

\int \frac{4 x^{2}}{5 - 4 x^{3}} d x

________

Posizionamento

Considera la funzione

f (x) = \frac{p x + q}{a x^{2} + b x + c}

,

a \neq 0

.
Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

Se

Δ > 0

, possiamo scrivere

f (x)

come somma di frazioni con denominatore di primo grado se

f

è una funzione irriducibile.

B:

Se

Δ = 0

,

F (x) = \frac{1}{(p x + q)^{2}}

.

C:

Se

Δ < 0

e

p = 0

,

F (x) = d \arctan g (x) + c

, dove

g (x)

è un polinomio e

d \in R

.

D:

Se

Δ < 0

e

p \neq 0

,

F (x) = \ln | f (x) | + \arctan g (x) + c

, dove

g (x)

è un polinomio.

Vero o falso

Considera la famiglia delle primitive

F_{c} (x)

della funzione

f (x) = \frac{2 x^{2} - x - 7}{2 - x}

.

Per

c =

________, il grafico di

F (x)

passa per il punto

(1; - 4)

.

Per

c =

________, il grafico di

F (x)

interseca l'asse

x

nel punto di ascissa

- 4

.

Per

c =

________, il grafico di

F (x)

interseca l'asse

x

nel punto di ascissa

4

.

Per

c =

________, il grafico di

F (x)

passa per il punto

(- 2; 3)

.

Completamento chiuso

Tra le primitive della funzione $f (x) = \frac{2 x + 1}{x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27}$ individua quella il cui grafico passa per il punto $P (- 2; 2)$ .

Osserviamo che

$x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27 = (x +$ ________ $)^{3}$

allora possiamo riscrivere $f (x)$ come:

$f (x) = \frac{2 x + 1}{x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27} =$

$\frac{A}{x + 3} + \frac{B}{(x + 3)^{2}} + \frac{C}{(x + 3)^{3}} =$

$A$ ________ $+ B (x + 3) + C$	$=$
________

$\frac{A x^{2} + 6 A x + B x + 9 A + 3 B + C}{(x + 3)^{3}}$ .

Calcoliamo $A$ , $B$ e $C$ :

${\begin{cases} \end{cases}$	$A =$ ________	$\to$ ${\begin{cases} \end{cases}$	$A = 0$
	$6 A + B = 2$		$B =$ ________
	$9 A + 3 B + C = 1$		$C =$ ________

Allora possiamo calcolare $F (x)$ :

$F (x) = \int \frac{2 x + 1}{x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27} d x =$

$\int$ ________ $d x - \int$ ________ $d x =$

$- \frac{2}{x + 3} +$ ________ $+ c =$

$-$ ________ $+ c$ .

Troviamo la primitiva $F (x)$ passante per il punto $P (- 2; 2)$ :

$F ($ ________ $) =$ ________ $\to$

$- \frac{4 (- 2) + 7}{2 (- 2 + 3)^{2}} + c = 2 \to$ $c =$ ________.

La primitiva cercata è $F (x) = \frac{3}{2} - \frac{4 x + 7}{2 (x + 3)^{2}}$ .

Completamento chiuso

Nel grafico è rappresentata la primitiva

F (x)

di

f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 3 x + 2}

.
Quale tra le seguenti è l'equazione di

F (x)

?

A:

F (x) = 8 \ln | x - 2 | + 4 \ln | x - 1 | + 4 \ln 4

B:

F (x) = 4 \ln | x - 2 | - 8 \ln | x - 1 | + 2 \ln 4

C:

F (x) = 8 \ln | x + 2 | - 4 \ln | x + 1 | + 4 \ln 2

D:

F (x) = 4 \ln | x + 2 | + 8 \ln | x + 1 | + 2 \ln 2

Scelta multipla

Quale tra le seguenti funzioni è una primitiva della funzione

f (x) = \frac{15 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x - 2}{5 x^{2} - 2}

?

A:

F (x) = 3 x^{2} + 2 x - \ln | 5 x^{2} - 2 |

B:

F (x) = \frac{3}{2} x^{2} + x - \frac{1}{2} \ln | 5 x^{2} - 2 |

C:

F (x) = 3 x^{2} + x + \frac{1}{2} \ln | 5 x^{2} - 2 |

D:

F (x) = \frac{3}{2} x^{2} + x + \ln | 5 x^{2} - 2 |

Scelta multipla

Completa in modo che l'uguaglianza sia vera.

$\int$	$2 x - 3$	$d x =$
	________ $x^{2} -$ ________ $x - 3$

$\frac{3}{7} \ln | x - 3 | + \frac{4}{7} \ln | 2 x + 1 | + c$

$\int$	$2 - x$	$d x =$
	________ $x^{2} + 12 x +$ ________

$- \frac{1}{4} \ln | 2 x + 3 | - \frac{7}{4 (2 x + 3)} + c$

$\int$	$3$	$d x =$
	$x^{2} -$ ________ $x +$ ________

$3 \arctan (x - 2) + c$

$\int$	$3 x + 5$	$d x =$
	________ $x^{2} + 3 x +$ ________

$\frac{3}{2} \ln (x^{2} + 3 x + 5) + \frac{1}{\sqrt{11}} \arctan \frac{2 x + 6}{\sqrt{11}} + c$

Completamento chiuso