Fai il punto sulle competenze - Integrazione di funzioni razionali fratte

Completa in modo che l'uguaglianza sia vera.

${\displaystyle \frac{3}{7}\ln |x-3|+\frac{4}{7}\ln |2x+1|+c}$

${\displaystyle -\frac{1}{4}\ln |2x+3|-\frac{7}{4(2x+3)}+c}$

$3\arctan (x-2)+c$

${\displaystyle \frac{3}{2}\ln (x^2+3x+5)+\frac{1}{\sqrt{11}}\arctan \frac{2x+6}{\sqrt{11}}+c}$

Tra le primitive della funzione ${\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x^3+9x^2+27x+27}}$ individua quella il cui grafico passa per il punto $P(-2;2)$.

Osserviamo che

$x^3+9x^2+27x+27=(x+$________${)}^3$

allora possiamo riscrivere $f(x)$ come:

${\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x^3+9x^2+27x+27}=}$

${\displaystyle \frac{A}{x+3}+\frac{B}{(x+3{)}^2}+\frac{C}{(x+3{)}^3}=}$

${\displaystyle \frac{A{x}^2+6Ax+Bx+9A+3B+C}{(x+3{)}^3}}$.

Calcoliamo $A$, $B$ e $C$:

Allora possiamo calcolare $F(x)$:

$F(x)={\displaystyle \int \frac{2x+1}{x^3+9x^2+27x+27}dx=}$

${\displaystyle \int }$________$dx-{\displaystyle \int }$________$dx=$

${\displaystyle -\frac{2}{x+3}+}$________$+c=$

$-$________$+c$.

Troviamo la primitiva $F(x)$ passante per il punto $P(-2;2)$:

$F($________$)=$________$\to$

${\displaystyle -\frac{4(-2)+7}{2(-2+3{)}^2}+c=2\to }$$c=$________.

La primitiva cercata è ${\displaystyle F(x)=\frac{3}{2}-\frac{4x+7}{2(x+3{)}^2}}$.