Fai il punto sulle competenze - Integrale di funzioni la cui è una funzione composta #564492

Associa a ciascun integrale la sua soluzione.

\int \frac{\frac{e^{x}}{3} + x^{2}}{e^{x} + x^{3}} d x

________

\int \frac{e^{x} + x^{2}}{e^{x} + \frac{1}{3} x^{3}} d x

________

\int \frac{e^{x} + 6 x^{2}}{e^{x} + 2 x^{3}} d x

________

\int \frac{e^{3 x} + \frac{1}{3}}{e^{3 x} + x} d x

________

Posizionamento

Associa a ciascun integrale la sua soluzione.

\int \frac{e^{\frac{x}{6}}}{1 + e^{\frac{x}{3}}} d x

________

\int \frac{e^{\frac{x}{6}}}{\sqrt{1 - e^{\frac{x}{3}}}} d x

________

\int \frac{x^{e - 1}}{1 + x^{2 e}} d x

________

\int \frac{e x^{e - 1}}{\sqrt{1 - x^{2 e}}} d x

________

Posizionamento

Considera la famiglia delle primitive

F_{c} (x)

della funzione

f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{4 x^{3} - 3}}

.

Per

c =

________, il grafico di

F (x)

passa per il punto

(1; \frac{1}{6})

.

Per

c =

________, il grafico di

F (x)

interseca l'asse

x

nel punto di ascissa

\sqrt[3]{\frac{147}{4}}

.

Per

c =

________, il grafico di

F (x)

passa per il punto

(\sqrt[3]{\frac{7}{4}}; \frac{1}{3})

.

Per

c =

________, il grafico di

F (x)

passa per il punto

(\sqrt[3]{\frac{7}{4}}; 1)

.

Completamento chiuso

Nel

2011

la città di Bologna contava

371 000

abitanti. La velocità con cui è cresciuta la popolazione

P (t)

tra il

2011

e il

2019

si può esprimere come

P^{'} (t) = \frac{7}{3} e^{\frac{t}{15}}

,
dove

t \geq 0

è il tempo in anni a partire dal

2011

e

P^{'} (t)

è espressa in migliaia di persone per anno.
Secondo questo modello, quanti abitanti contava la città di Bologna nel

2019

?

Determiniamo la funzione

P (t)

, che è la ________ di

P^{'} (t)

:

P (t) = \int \frac{7}{3} e^{\frac{t}{15}} d t =

\frac{7}{3} \cdot

________

e^{\frac{t}{15}} + c =

35 e^{\frac{t}{15}} + c

.
Nel

2011

, cioè quando

t = 0

, a Bologna abitavano

371

migliaia di persone, quindi:

P (0) =

________

\to

________

e^{0} + c = 371 \to

c =

________.
Allora

P (t) = 35 e^{\frac{t}{15}} + 336

.
Per determinare quanti abitanti contava la città di Bologna nel

2019

calcoliamo:

P (

________

)

=

35 e^{\frac{8}{15}} + 336 ≃ 395, 661

.
Possiamo concludere che nel

2019

a Bologna vivevano circa ________ persone.

Completamento chiuso

Considera la funzione

f (x) = x^{2} + x - 6

. Quale delle sue primitive

F (x)

ha un punto di massimo di ordinata

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?

A:

F (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 6 x + \frac{1}{2}

B:

F (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x - 2

C:

F (x) = \frac{1}{2} x^{3} + x^{2} - 6 x + \frac{1}{2}

D:

F (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x + 2

Scelta multipla

Se

f (0) = - 3

,

f^{'} (0) = 3

e

f^{″} (x) = e^{x} + \cos x

, quale delle seguenti funzioni rappresenta

f (x)

?

A:

f (x) = x e^{x} - \cos x + 3 x - 3

B:

f (x) = e^{x} + \cos x + 3 x - 3

C:

f (x) = x e^{x} + \cos x - 3 x + 2

D:

f (x) = e^{x} - \cos x + 2 x - 3

Scelta multipla

Se

f (x)

è una funzione continua e derivabile, tale che

f^{'} (x) = 8 x

, allora:

A:

\int \frac{8 x}{\cos^{2} [f (x)]} d x = \tan (8 x) + c

B:

\int \frac{4 x^{2}}{8 x} d x = \ln | f (x) | + c

C:

\int 8 x \cos f (x) d x = \sin f (x) + c

D:

\int 8 x \sin (4 x^{2}) d x = \cos f (x) + c

Vero o falso

Una particella si muove di moto rettilineo con accelerazione variabile nel tempo secondo la legge:

a (t) = 2 - \sin t

,
dove

t \geq 0

è espresso in secondi e

a

è l'accelerazione in m/s².
Sapendo che all'istante iniziale la particella è ferma e nella posizione

s = 0

m, qual è la legge oraria del moto?

A:

f (t) = - \sin t + t^{2} + 1

B:

f (t) = \sin t + t^{2} - t

C:

f (t) = \sin t + t^{2}

D:

f (t) = - \sin t + t^{2} - 1

Scelta multipla