Fai il punto sulle competenze - Il teorema del fascio di rette parallele

Dato un triangolo $ABC$, costruiamo un triangolo $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ congiungendo i punti medi dei lati di $ABC$. Il rapporto fra il perimetro di $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ e quello di $ABC$ è:

Sia $ABCD$ un trapezio con la base maggiore $AB$ doppia della minore $CD$. Siano $M$, $N$ i punti medi rispettivamente dei lati obliqui $AD$ e $BC$. Dimostra che le diagonali del trapezio dividono il segmento $MN$ in tre segmenti congruenti.

Ipotesi:   $AB\cong 2DC$, $AM\cong MD$, $CN\cong NB$.
Tesi:   $MP\cong PQ\cong QN$

DIMOSTRAZIONE

Sappiamo che in un trapezio il segmento che congiunge i punti medi dei lati obliqui è parallelo alle due basi, quindi: $MN\parallel AB\parallel CD$.
Consideriamo ora le rette parallele $AB$, $MN$, $CD$ tagliate dalle trasversali $AD$, $AC$. Poiché $AM\cong MD$, per il teorema di Talete, otteniamo $AP\cong$________.
Consideriamo il triangolo $ACD$. Il segmento $MP$ congiunge i punti medi dei lati ________ e $AC$, quindi $MN\cong$________.
Ripetendo lo stesso ragionamento alle rette parallele $AB$, $MN$, $CD$ tagliate dalle trasversali $BD$, $BC$ e al triangolo $BCD$, otteniamo: $QN\cong$________.
Quindi $MN\cong QN\cong$________ per la proprietà transitiva della congruenza.
Ripetendo ancora lo stesso ragionamento alle rette parallele $AB$, $MN$, $CD$ tagliate dalle trasversali $AC$, $BC$ e al triangolo $ABC$, otteniamo: $PN\cong$________.
Poiché $AB\cong 2CD$, ricaviamo:
$PN\cong$________.
Inoltre,
$PN\cong PQ+QN$ e $QN\cong$________
per la dimostrazione precedente, quindi $PN\cong$________.
Poiché anche $MN\cong QN\cong$________ per quanto dimostrato prima, concludiamo che $MN\cong QN\cong PN$ per la proprietà transitiva della congruenza.

Sia $ABC$ un triangolo e $BP$ la mediana relativa al lato $AC$. Siano $M$ il suo punto medio e $Q$ il punto in cui incontra il lato $BC$. Sia $N$ il punto in cui la retta parallela ad $AQ$ passante per $P$ incontra il lato $BC$.

Ipotesi:   $AP\cong PC$, $PM\cong MB$, $PN\parallel AM$.
Tesi:   $CQ\cong 2QB$

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo le rette parallele $AQ$, $PN$.
Per il teorema di Talete:
•   considerando le trasversali $AC$, $BC$, poiché $AP\cong PC$, allora $CN\cong$________;
•   considerando le trasversali $BP$, $BC$, poiché $PM\cong MB$, allora $QB\cong$________.
Segue che, per la proprietà transitiva, $CN\cong NQ\cong QB$.
Dunque, $CQ\cong CN+NQ\cong$________$QB$.

Sia $ABCD$ un trapezio e siano $M$ ed $N$ i punti medi delle diagonali $AC$ e $BD$. Dimostra che il segmento $MN$ è congruente alla semidifferenza delle basi.

Ipotesi:   $ABCD$ trapezio, $AM\cong MC$, $DN\cong NB$.
Tesi:   $MN\cong {\displaystyle \frac{AB-DC}{2}}$

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo la figura b, in cui sono indicati con $E$ ed $F$ i punti medi rispettivamente dei lati $AD$ e $BC$.
La retta $EF$ è quindi parallela alle basi del trapezio.
Nel triangolo $ACD$, la retta passante per $E$ e parallela a $CD$ contiene il punto medio del lato ________, cioè $M$.
Analogamente, nel triangolo $BCD$, la retta passante per $F$ e parallela ad $AB$ contiene il punto medio del lato ________, cioè $N$.
Quindi $M$ e $N$ appartengono alla retta $EF$.
Consideriamo nuovamente il triangolo $ACD$. Il segmento $EM$ congiunge i punti medi dei lati $AD$ e ________, quindi $EM\cong$________.
Ripetendo lo stesso ragionamento al triangolo $ABD$, otteniamo:
$EN\cong$________.
Da cui: $MN\cong EN-EM\cong$
________$-$________$\cong$________.

Nel triangolo $ABC$ in figura, $MN$ è parallelo ad $AB$ e il perimetro è $56$ cm. Quanto misura $MN$?

Poiché $MN$ è parallelo ad $AB$ ed $M$ è il punto medio di ________, allora $N$ è il punto medio di ________.
Inoltre, poiché il perimetro è $56$ cm, otteniamo:
$4x+4+$________$+2x+$________$=56$
________$=$________
$x=$________.
Da cui: $\overline{AB}=$________.
Concludiamo che $MN=$________ cm.

Nel trapezio $ABCD$ in figura, $E$ e $F$ sono i punti medi dei due lati non paralleli. Determina la misura delle basi del trapezio.

Poiché $EF$ congiunge i punti medi dei lati ________, ________ del trapezio $ABCD$, allora:
•   $EF\parallel$________$\parallel$________;
•   $EF\cong$________.
Quindi:
$2x+7=$________
________$=$________.
Concludiamo che:
$\overline{AB}=$________ e $\overline{CD}=$________.

In figura, $ABCD$ è un quadrato, $EFGA$ un trapezio isoscele, $AHIL$ un parallelogramma. Sapendo che $MN$ misura $20$ cm e $CB$$16$ cm determina l'area di $EFGA$ e le ampiezze dei suoi angoli interni.

Consideriamo il trapezio $EFGA$. Poiché $MN$ è il segmento che congiunge i punti medi dei lati $GF$ e $AE$, otteniamo:
$MN=$________$\to$
$FE$________$GA$$=2MN=$________ cm.
Poiché $ABCD$ è un quadrato, $EKAD$ è un ________.
Quindi $EK\cong CB$.
Possiamo allora calcolare l'area del trapezio $EFGA$:
$A_{EFGA}={\displaystyle \frac{(FE+GA)\cdot CB}{2}=}$
________$=$________ cm².

$AIHL$ è un parallelogramma, quindi $H\hat{I}L\cong$________.
Inoltre, $E\hat{A}D$ e ________ sono opposti al vertice, quindi $E\hat{A}D={40}^{\circ }$.
$ABCD$ è un quadrato, quindi $D\hat{A}B={90}^{\circ }$.
Poiché $D\hat{A}B$, $D\hat{A}E$ ed $E\hat{A}K$ sono ________, otteniamo:
$E\hat{A}K={180}^{\circ }-$________$=$________.
Quindi $E\hat{A}G=E\hat{A}K=$________.
Poiché $EFGA$ è un trapezio isoscele, otteniamo:
•   $F\hat{G}A=E\hat{A}G=$________;
•   $E\hat{F}G=A\hat{E}F=$________$-$________$=$________.
Per calcolare $A\hat{E}F$ osserviamo che $A\hat{E}F=A\hat{E}K+K\hat{E}F$, con $K\hat{E}F={90}^{\circ }$ perché angolo esterno all'angolo di vertice $E$ del rettangolo $KADE$.

Applicando il teorema della somma degli angoli interi di un triangolo al triangolo rettangolo $KAE$ ricaviamo:
$A\hat{E}K=$________$-E\hat{A}K=$________.
Da cui:
$A\hat{E}F=$________$+{90}^{\circ }=$________.
Concludiamo che
$E\hat{F}G=A\hat{E}F=$________.