Fai il punto sulle competenze - Il teorema del fascio di rette parallele

7 esercizi
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Matematica

Dato un triangolo ABC, costruiamo un triangolo ABC congiungendo i punti medi dei lati di ABC. Il rapporto fra il perimetro di ABC e quello di ABC è:
A: 1.
B: 12.
C: 13.
D: 14.
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Matematica

Sia ABCD un trapezio con la base maggiore AB doppia della minore CD. Siano M, N i punti medi rispettivamente dei lati obliqui AD e BC. Dimostra che le diagonali del trapezio dividono il segmento MN in tre segmenti congruenti.

Ipotesi:   AB2DC, AMMD, CNNB.
Tesi:   MPPQQN

DIMOSTRAZIONE

Sappiamo che in un trapezio il segmento che congiunge i punti medi dei lati obliqui è parallelo alle due basi, quindi: MNABCD.
Consideriamo ora le rette parallele AB, MN, CD tagliate dalle trasversali AD, AC. Poiché AMMD, per il teorema di Talete, otteniamo AP________.
Consideriamo il triangolo ACD. Il segmento MP congiunge i punti medi dei lati ________ e AC, quindi MN________.
Ripetendo lo stesso ragionamento alle rette parallele AB, MN, CD tagliate dalle trasversali BD, BC e al triangolo BCD, otteniamo: QN________.
Quindi MNQN________ per la proprietà transitiva della congruenza.
Ripetendo ancora lo stesso ragionamento alle rette parallele AB, MN, CD tagliate dalle trasversali AC, BC e al triangolo ABC, otteniamo: PN________.
Poiché AB2CD, ricaviamo:
PN________.
Inoltre,
PNPQ+QN e QN________
per la dimostrazione precedente, quindi PN________.
Poiché anche MNQN________ per quanto dimostrato prima, concludiamo che MNQNPN per la proprietà transitiva della congruenza.
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Sia ABC un triangolo e BP la mediana relativa al lato AC. Siano M il suo punto medio e Q il punto in cui incontra il lato BC. Sia N il punto in cui la retta parallela ad AQ passante per P incontra il lato BC.

Ipotesi:   APPC, PMMB, PNAM.
Tesi:   CQ2QB

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo le rette parallele AQ, PN.
Per il teorema di Talete:
•   considerando le trasversali AC, BC, poiché APPC, allora CN________;
•   considerando le trasversali BP, BC, poiché PMMB, allora QB________.
Segue che, per la proprietà transitiva, CNNQQB.
Dunque, CQCN+NQ________QB.

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Matematica

Sia ABCD un trapezio e siano M ed N i punti medi delle diagonali AC e BD. Dimostra che il segmento MN è congruente alla semidifferenza delle basi.

Ipotesi:   ABCD trapezio, AMMC, DNNB.
Tesi:   MNABDC2

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo la figura b, in cui sono indicati con E ed F i punti medi rispettivamente dei lati AD e BC.
La retta EF è quindi parallela alle basi del trapezio.
Nel triangolo ACD, la retta passante per E e parallela a CD contiene il punto medio del lato ________, cioè M.
Analogamente, nel triangolo BCD, la retta passante per F e parallela ad AB contiene il punto medio del lato ________, cioè N.
Quindi M e N appartengono alla retta EF.
Consideriamo nuovamente il triangolo ACD. Il segmento EM congiunge i punti medi dei lati AD e ________, quindi EM________.
Ripetendo lo stesso ragionamento al triangolo ABD, otteniamo:
EN________.
Da cui: MNENEM
________________________.
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Nel triangolo ABC in figura, MN è parallelo ad AB e il perimetro è 56 cm. Quanto misura MN?

Poiché MN è parallelo ad AB ed M è il punto medio di ________, allora N è il punto medio di ________.
Inoltre, poiché il perimetro è 56 cm, otteniamo:
4x+4+________+2x+________=56
________=________
x=________.
Da cui: AB¯=________.
Concludiamo che MN=________ cm.
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Nel trapezio ABCD in figura, E e F sono i punti medi dei due lati non paralleli. Determina la misura delle basi del trapezio.

Poiché EF congiunge i punti medi dei lati ________, ________ del trapezio ABCD, allora:
•   EF________________;
•   EF________.
Quindi:
2x+7=________
________=________.
Concludiamo che:
AB¯=________ e CD¯=________.
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Matematica

In figura, ABCD è un quadrato, EFGA un trapezio isoscele, AHIL un parallelogramma. Sapendo che MN misura 20 cm e CB16 cm determina l'area di EFGA e le ampiezze dei suoi angoli interni.

Consideriamo il trapezio EFGA. Poiché MN è il segmento che congiunge i punti medi dei lati GF e AE, otteniamo:
MN=________
FE________GA=2MN=________ cm.
Poiché ABCD è un quadrato, EKAD è un ________.
Quindi EKCB.
Possiamo allora calcolare l'area del trapezio EFGA:
AEFGA=(FE+GA)CB2=
________=________ cm².

AIHL è un parallelogramma, quindi HI^L________.
Inoltre, EA^D e ________ sono opposti al vertice, quindi EA^D=40.
ABCD è un quadrato, quindi DA^B=90.
Poiché DA^B, DA^E ed EA^K sono ________, otteniamo:
EA^K=180________=________.
Quindi EA^G=EA^K=________.
Poiché EFGA è un trapezio isoscele, otteniamo:
•   FG^A=EA^G=________;
•   EF^G=AE^F=________________=________.
Per calcolare AE^F osserviamo che AE^F=AE^K+KE^F, con KE^F=90 perché angolo esterno all'angolo di vertice E del rettangolo KADE.

Applicando il teorema della somma degli angoli interi di un triangolo al triangolo rettangolo KAE ricaviamo:
AE^K=________EA^K=________.
Da cui:
AE^F=________+90=________.
Concludiamo che
EF^G=AE^F=________.
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