Fai il punto sulle competenze - I trapezi

Le diagonali di un trapezio isoscele lo scompongono in quattro triangoli. Dimostra che i triangoli $AOD$ e $BOC$ sono congruenti, mentre i triangoli $AOB$ e $DOC$, pur essendo diversi, hanno gli angoli congruenti e sono isosceli.

Ipotesi:   $ABCD$ trapezio, $AD\cong CB$.
Tesi:   $DOA\cong COB$, $AOC$ e $DOC$ isosceli, gli angoli di $AOB$ sono congruenti agli angoli di $DOC$.

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo i triangoli $ADB$ e $ACB$. Essi hanno:
•   $AD\cong CB$ per ipotesi;
•   $AB$ in comune;
•   $D\hat{A}B\cong$________ per il teorema del trapezio isoscele.
Quindi i due triangoli sono congruenti per il ________ criterio di congruenza. In particolare, $D\hat{B}A\cong$________.
Ne segue che $A\hat{B}O\cong A\hat{B}D\cong B\hat{A}C\cong B\hat{A}O$, quindi $AOB$ è isoscele, con $AO\cong OB$.

Inoltre, $D\hat{B}A\cong B\hat{D}C$ e $C\hat{A}B\cong A\hat{C}D$ perché angoli ________ delle rette parallele $AB$ e $CD$ tagliate rispettivamente dalle trasversali ________ e ________.

Ne segue che $O\hat{D}C\cong B\hat{D}C\cong A\hat{C}D\cong O\hat{C}D$, quindi $DOC$ è isoscele, con $DO\cong OC$.

Concludiamo che
•   $ABO\cong$________$\cong O\hat{C}D\cong$________ per la dimostrazione precedente;
•   $A\hat{O}B\cong$________ perché opposti al vertice.
Quindi i triangoli $AOB$, $COD$ hanno gli angoli congruenti.

Consideriamo ora i triangoli $AOD$ e $COB$. Essi hanno:
•   ________$\cong OB$ e $OD\cong$________ per la dimostrazione precedente;
•   $D\hat{O}A\cong C\hat{O}B$ perché opposti al vertice.
Quindi i due triangoli sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.

Sia $O$ il punto di intersezione delle diagonali del parallelogramma $ABCD$. Sia $r$ una retta qualunque per $O$ che interseca il lato $AB$ nel punto $E$ e il lato $CD$ nel punto $F$.
Dimostra che i trapezi $AEFD$ ed $EBCF$ sono congruenti.

Ipotesi:   $ABCD$ parallelogramma
Tesi:   $AEFD\cong EBCF$

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo i triangoli $DOF$ e $EOB$. Essi hanno:
•   $DO\cong OB$ perché le diagonali di un parallelogramma si incontrano nel loro punto medio;
•   $F\hat{D}O\cong$________ perché angoli alterni interni alle rette parallele $AB$ e $CD$ tagliate dalla trasversale ________;
•   $D\hat{O}F\cong$________ perché opposti al vertice.
Quindi i due triangoli sono congruenti per il ________ criterio di congruenza.
In particolare, $DF\cong$________.

Segue che $AE\cong FC$ perché ________ di segmenti congruenti.

Consideriamo ora i trapezi $AEFD$ e $EBCF$. Essi hanno i lati ordinatamente congruenti, infatti:
•   $AD\cong$________ perché $ABCD$ è un parallelogramma;
•   $FE$ in comune;
•   $DF\cong$________ e $AE\cong FC$ per le dimostrazioni precedenti.

Inoltre, hanno gli angoli ordinatamente congruenti:
•  $D\hat{A}E\cong$________ per la proprietà transitiva, in quanto sono rispettivamente congruenti agli angoli $D\hat{A}B$ e $B\hat{C}D$, che sono ________ perché angoli opposti del parallelogramma $ABCD$;
•  $A\hat{D}F\cong$________ per la proprietà transitiva, in quanto sono rispettivamente congruenti agli angoli $A\hat{D}C$ e $A\hat{B}C$, che sono ________ perché angoli opposti del parallelogramma $ABCD$;
•  $D\hat{F}E\cong$________ perché angoli alterni interni delle rette parallele $CD$, $AB$ tagliate dalla trasversale $EF$;
•  $A\hat{E}F\cong$________, perché angoli supplementari degli angoli congruenti $D\hat{F}E$ e ________.

Il quadrilatero $ABCD$ è un trapezio. Quali sono le ampiezze degli angoli $\alpha$ e $\beta$?

________

Se $AHCD$ è un trapezio rettangolo, quali sono le ampiezze degli angoli $\gamma$ e $\delta$?

________

Il lato obliquo e l'altezza di un trapezio rettangolo misurano rispettivamente $13$ cm e $12$ cm. Sapendo che la base maggiore è ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ della base minore, determina il perimetro.

________

L'area di un trapezio isoscele misura $800$ cm² e la somma delle basi è $50$ cm. Trova il rapporto tra base minore e base maggiore, sapendo che il lato obliquo è ${\displaystyle \frac{25}{24}}$ dell'altezza.

Chiamiamo $B$, $b$, $h$ e $l$ rispettivamente le misure della base maggiore, della base minore, dell'altezza e del lato obliquo del trapezio. La misura dell'area è $800$ e la misura della somma delle basi è $50$, da cui:
________$=800\to h=$________.
Il lato obliquo misura quindi
${\displaystyle \frac{25}{24}\cdot }$________$=$________.
Poiché il trapezio è isoscele, otteniamo:
________$=\sqrt{l^2-h^2}={\displaystyle \frac{28}{3}}$.
Quindi $B-b=$________.
Poiché $B+b=50$ e $B-b=$________, abbiamo:
$B=(50+$________$)$$:2=$________ e
$b=$________.
Quindi ${\displaystyle \frac{b}{B}=}$________.

La diagonale $AC$ divide il trapezio isoscele $ABCD$ in due triangoli. Sapendo che la differenza tra i perimetri dei triangoli è $10$ cm e che la somma delle basi del trapezio è $78$ cm, trova le lunghezze delle due basi.

$ABCD$ è un trapezio isoscele, quindi $AD\cong BC$.
Calcoliamo la differenza fra i perimetri dei triangoli $ABC$ e $ACD$:
$AB+BC+AC-AC-AD-CD\cong$
$AB-$________.
Quindi $\overline{AB}-$________$=10$.
Poiché $\overline{AB}+\overline{CD}=78$, otteniamo:
$\overline{AB}=$________$=$________,
$\overline{CD}=78-$________$=$________.