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Matematica

A: Il trapezio è un particolare parallelogramma.
B: Gli angoli alla base di un trapezio sono sempre congruenti.
C: In un trapezio rettangolo le diagonali sono perpendicolari fra loro.
D: In un trapezio isoscele le diagonali sono congruenti.
Vero o falsoVero o falso
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Matematica

Le diagonali di un trapezio isoscele lo scompongono in quattro triangoli. Dimostra che i triangoli AOD e BOC sono congruenti, mentre i triangoli AOB e DOC, pur essendo diversi, hanno gli angoli congruenti e sono isosceli.

Ipotesi:   ABCD trapezio, ADCB.
Tesi:   DOACOB, AOC e DOC isosceli, gli angoli di AOB sono congruenti agli angoli di DOC.

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo i triangoli ADB e ACB. Essi hanno:
•   ADCB per ipotesi;
•   AB in comune;
•   DA^B________ per il teorema del trapezio isoscele.
Quindi i due triangoli sono congruenti per il ________ criterio di congruenza. In particolare, DB^A________.
Ne segue che AB^OAB^DBA^CBA^O, quindi AOB è isoscele, con AOOB.

Inoltre, DB^ABD^C e CA^BAC^D perché angoli ________ delle rette parallele AB e CD tagliate rispettivamente dalle trasversali ________ e ________.

Ne segue che OD^CBD^CAC^DOC^D, quindi DOC è isoscele, con DOOC.

Concludiamo che
•   ABO________OC^D________ per la dimostrazione precedente;
•   AO^B________ perché opposti al vertice.
Quindi i triangoli AOB, COD hanno gli angoli congruenti.

Consideriamo ora i triangoli AOD e COB. Essi hanno:
•   ________OB e OD________ per la dimostrazione precedente;
•   DO^ACO^B perché opposti al vertice.
Quindi i due triangoli sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.

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Matematica

Sia O il punto di intersezione delle diagonali del parallelogramma ABCD. Sia r una retta qualunque per O che interseca il lato AB nel punto E e il lato CD nel punto F.
Dimostra che i trapezi AEFD ed EBCF sono congruenti.

Ipotesi:   ABCD parallelogramma
Tesi:   AEFDEBCF

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo i triangoli DOF e EOB. Essi hanno:
•   DOOB perché le diagonali di un parallelogramma si incontrano nel loro punto medio;
•   FD^O________ perché angoli alterni interni alle rette parallele AB e CD tagliate dalla trasversale ________;
•   DO^F________ perché opposti al vertice.
Quindi i due triangoli sono congruenti per il ________ criterio di congruenza.
In particolare, DF________.

Segue che AEFC perché ________ di segmenti congruenti.

Consideriamo ora i trapezi AEFD e EBCF. Essi hanno i lati ordinatamente congruenti, infatti:
•   AD________ perché ABCD è un parallelogramma;
•   FE in comune;
•   DF________ e AEFC per le dimostrazioni precedenti.

Inoltre, hanno gli angoli ordinatamente congruenti:
•  DA^E________ per la proprietà transitiva, in quanto sono rispettivamente congruenti agli angoli DA^B e BC^D, che sono ________ perché angoli opposti del parallelogramma ABCD;
•  AD^F________ per la proprietà transitiva, in quanto sono rispettivamente congruenti agli angoli AD^C e AB^C, che sono ________ perché angoli opposti del parallelogramma ABCD;
•  DF^E________ perché angoli alterni interni delle rette parallele CD, AB tagliate dalla trasversale EF;
•  AE^F________, perché angoli supplementari degli angoli congruenti DF^E e ________.
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Il quadrilatero ABCD è un trapezio. Quali sono le ampiezze degli angoli α e β?

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Se AHCD è un trapezio rettangolo, quali sono le ampiezze degli angoli γ e δ?

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Il lato obliquo e l'altezza di un trapezio rettangolo misurano rispettivamente 13 cm e 12 cm. Sapendo che la base maggiore è 43 della base minore, determina il perimetro.

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L'area di un trapezio isoscele misura 800 cm² e la somma delle basi è 50 cm. Trova il rapporto tra base minore e base maggiore, sapendo che il lato obliquo è 2524 dell'altezza.

Chiamiamo B, b, h e l rispettivamente le misure della base maggiore, della base minore, dell'altezza e del lato obliquo del trapezio. La misura dell'area è 800 e la misura della somma delle basi è 50, da cui:
________=800h=________.
Il lato obliquo misura quindi
2524________=________.
Poiché il trapezio è isoscele, otteniamo:
________=l2h2=283.
Quindi Bb=________.
Poiché B+b=50 e Bb=________, abbiamo:
B=(50+________):2=________ e
b=________.
Quindi bB=________.
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Matematica

La diagonale AC divide il trapezio isoscele ABCD in due triangoli. Sapendo che la differenza tra i perimetri dei triangoli è 10 cm e che la somma delle basi del trapezio è 78 cm, trova le lunghezze delle due basi.

ABCD è un trapezio isoscele, quindi ADBC.
Calcoliamo la differenza fra i perimetri dei triangoli ABC e ACD:
AB+BC+ACACADCD
AB________.
Quindi AB¯________=10.
Poiché AB¯+CD¯=78, otteniamo:
AB¯=________=________,
CD¯=78________=________.
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