Fai il punto sulle competenze - I sistemi di secondo grado e la loro interpretazione grafica

Risolvi il seguente sistema simmetrico a coefficienti letterali.
$\{\begin{array}{l}x+y=a\\ x^2+y^2=4a+8+a^2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x+y=a\\ x^2+y^2=4a+8+a^2\end{array}$

Per risolvere il sistema osserviamo che $x^2+y^2=$________. Sostituiamo questa identità nella seconda equazione e procediamo poi con la risoluzione del sistema.

$\{\begin{array}{l}x+y=a\\ a^2-2xy=4a+8+a^2\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}x+y=a\\ -2xy=4a+8\end{array}\to$

Risolvere questo sistema significa trovare due numeri la cui somma sia $a$ e il cui prodotto sia ________. Questo è equivalente a trovare le soluzioni dell'equazione di secondo grado $t^2-at-2a-4=0$.

$t^2-at-2a-4=0\to$

$\mathrm{\Delta }=a^2+8a+16=(a+4{)}^2\to$

$t_{1,2}={\displaystyle \frac{a\pm \sqrt{(a+4{)}^2}}{2}=\frac{a\pm (a+4)}{2}}$

Dunque, $t=a+2\vee t=$________.

Per la simmetria del sistema concludiamo che

________

Risolvi il seguente sistema simmetrico.

$\{\begin{array}{l}4x^2+4y^2=37\\ {\displaystyle x=-\frac{5}{2}-y}\end{array}$

Risolviamo il sistema:

$\{\begin{array}{l}4x^2+4y^2=37\\ {\displaystyle x=-\frac{5}{2}-y}\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}(2x+2y{)}^2-8xy=37\\ {\displaystyle x+y=-\frac{5}{2}}\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}(-5{)}^2-8xy=37\\ {\displaystyle x+y=-\frac{5}{2}}\end{array}\to$

Risolviamo quindi l'equazione ausiliaria in $t$:

$t^2+{\displaystyle \frac{5}{2}t-}$________$=0\to$

$t_1=-3$, $t_2={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Il sistema ha come soluzioni

$({\displaystyle \frac{1}{2};}$________$)$ e $($________$;{\displaystyle \frac{1}{2}}$$)$.

Risolvi il seguente sistema.
$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x-2}{y+1}-\frac{y+x}{y}=0}\\ x+3y=-1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x-2}{y+1}-\frac{y+x}{y}=0}\\ x+3y=-1\end{array}$

Le condizioni di esistenza del sistema sono

________.

Risolviamo il sistema.

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{y(x-2)-(y+x)(y+1)}{y(y+1)}=0}\\ x+3y=-1\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}{y}^2+3y-3y-1=0\\ x=-3y-1\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}{y}^2=1\\ x=-3y-1\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}y=\pm 1\\ x=-3y-1\end{array}$

Se $y=1\to x=-4$;

se $y=-1\to x=2$ che ________ accettabile.

La soluzione del sistema è dunque $(-4;1)$.

Trova due numeri naturali sapendo che la loro differenza è $8$ e che la differenza tra il quadrato del maggiore dei due numeri e il cubo dell'altro numero è $80$.

Siano $x$ e $y$ i due numeri naturali cercati, con $x>y$.

Impostiamo il sistema risolutivo e risolviamolo:

$\{\begin{array}{l}x=y+8\\ y^2+16y+64-y^3=80\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}x=y+8\\ y^3-y^2-16y+16=0\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}x=y+8\\ y^2(y-1)-16(y-1)=0\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}x=y+8\\ (y^2-16)(y-1)=0\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}x=y+8\\ (y-4)(y+4)(y-1)=0\end{array}\to$

Poiché $y$ deve essere un numero naturale le soluzioni accettabili sono $1$ e $4$.

Calcoliamo il valore di $x$ in corrispondenza di tali soluzioni:

$y=4\to x=12;y=1\to x=9$.

Le coppie di numeri naturali che soddisfano le condizioni richieste sono quindi $4$ e $12$ oppure $1$ e $9$.

Determina per quali valori dei parametri $a$ e $b$ il sistema seguente ammette come soluzione la coppia $(1;2)$.

$\{\begin{array}{l}(2x-a{)}^2+3ay=4b-1\\ 2bx-y=0\end{array}$

Risolviamo il sistema:

$\{\begin{array}{l}(2x-a{)}^2+3ay=4b-1\\ 2bx-y=0\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}{a}^2+2a+1=0\\ b=1\end{array}\to$$\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1\end{array}.$

Il sistema ammette come soluzione la coppia $(1;2)$ se $a=$________, $b=$________.

Scrivi il sistema che rappresenta il seguente grafico e risolvilo algebricamente.

Il sistema che rappresenta il grafico è

Utilizziamo l'incognita ausiliaria $t$ e risolviamo l'equazione

$t^2$________$t-6=0$$\to$$t_1=2$; $t_2=-3$.

Il sistema ha quindi come soluzioni

$($$-3;$________$)$, $($________$;-3).$

Scrivi il sistema che rappresenta il seguente grafico e risolvilo algebricamente.

Il sistema che rappresenta il grafico è:

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+2}\\ x_1=-2,x_2={\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}.$

Il sistema ha quindi come soluzioni

$($________$;3)$ e ${\displaystyle (\frac{4}{3};\frac{4}{3})}$.

Scrivi il sistema che rappresenta il seguente grafico e risolvilo algebricamente.

Determiniamo l'equazione della retta passante per i punti $(0;2)$ e $(2;0)$.

Si ha che $q=$________ e ${\displaystyle m=\frac{0-2}{2-0}=-1}$.

Dunque, l'equazione della retta è

$y=$________$+2$.

Impostiamo il sistema che rappresenta il seguente grafico e risolviamolo.

$\{\begin{array}{l}y=-x+2\\ x^2+y^2=2\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}x+y=2\\ x^2+y^2=2\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}x+y=2\\ 4-2xy=2\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}x+y=2\\ xy=1\end{array}$

Risolvere questo sistema significa trovare due numeri la cui somma sia $2$ e il cui prodotto sia $1$.

Questo è equivalente a trovare le soluzioni dell'equazione di secondo grado

$t^2$________$+1=0$.

$t^2$________$+1=0\to$

$(t$________$1{)}^2=0\to$

$t=$________.

Concludiamo che il sistema ha un'unica soluzione, il punto $(1;1)$, che rappresenta i punti di tangenza tra la retta e la circonferenza del grafico.

Esprimendo tutti i valori in euro, la differenza tra il credito telefonico di Madiya e il doppio del credito di Abigail è $1$. Inoltre il quadrato del credito di Abigail supera di $2$ il credito di Madiya. A quanto ammontano i crediti delle due amiche?

Sia $x$ il credito telefonico di Madiya e $y$ il credito telefonico di Abigail.

Si ha che

Risolviamo il sistema.

Poiché $y$ rappresenta il credito telefonico di Abigail si ha che l'unica soluzione accettabile è $y=3$.

Calcoliamo il valore di $x$, ossia il credito di Madiya, in corrispondenza del valore di $y$ trovato:

$y=3\to x=7$.

Verifica che la retta passante per i punti $P(0;3)$ e $Q(-4;0)$ è esterna rispetto alla circonferenza di centro l'origine del piano cartesiano e raggio $2$.

Scriviamo le equazioni della retta e della circonferenza e le mettiamo a sistema. Risolviamo:

$\{\begin{array}{l}y={\displaystyle \frac{3}{4}x+3}\\ \nexists x\in \mathbb{R}\end{array}.$

Il sistema non ha soluzioni, pertanto la retta è ________ alla circonferenza.

Determina l'equazione della retta tangente alla parabola di equazione

$y=2x^2-3x+1$

nel suo punto di ascissa $2$.

Determiniamo l'ordinata del punto di ascissa $2$ della parabola:

$y=2\cdot 2^2-3\cdot 2+1\to y=3$.

Scriviamo il fascio di rette passanti per il punto $(2;3)$:

$y=m(x-2)$________$3$.

Impostiamo il sistema per determinare i punti d'intersezione tra retta e parabola.

$\{\begin{array}{l}y=2x^2-3x+1\\ 2x^2-3x+1=m(x-2)+3\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}y=2x^2-3x+1\\ 2x^2-(3+m)x+2m-2=0\end{array}.$

Affinché la retta sia tangente alla parabola, dobbiamo imporre che l'equazione di secondo grado ottenuta abbia un'unica soluzione, e quindi il delta deve essere ________$0$.

$\mathrm{\Delta }=0\to$

________$-8(2m-2)$$=0\to$

$9+6m+m^2-16m+16=0\to$

$m^2-10m+25=0\to$

$(m-5{)}^2=0\to m=5$.

La retta cercata ha quindi equazione $y=5x-7$.