Fai il punto sulle competenze - I sistemi di grado superiore al secondo

Risolvi il seguente sistema simmetrico:

$\{\begin{array}{l}{x}^4+y^4=97\\ x^2+y^2=13\end{array}$.

Risolviamo il sistema:

$\{\begin{array}{l}{x}^4+y^4=97\\ x^2+y^2=13\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}{x}^2{y}^2=36\\ x^2+y^2=13\end{array}$

Il sistema è equivalente ai due sistemi simmetrici:

$\{\begin{array}{l}xy=-6\\ x^2+y^2=13\end{array}.$

Risolviamo i due sistemi:

$\{\begin{array}{l}xy=6\\ (x+y{)}^2=25\end{array}$$\vee$$\{\begin{array}{l}xy=-6\\ (x+y{)}^2=1\end{array}.$

I due sistemi sono equivalenti ai quattro sistemi simmetrici:

$\{\begin{array}{l}xy=-6\\ x+y=1\end{array}\vee$

$\{\begin{array}{l}xy=-6\\ x+y=-1\end{array}.$

Le soluzioni del sistema sono le coppie simmetriche

$(-3;\pm 2)$, $(-2;\pm 3)$, $(2;\pm 3)$, $(3;\pm 2)$.

Determina le coordinate dei punti di intersezione fra la circonferenza di centro $C(0;0)$ e raggio $\sqrt{13}$, e la parabola di equazione $y=x^2-1$.

Scriviamo le equazioni della circonferenza e della parabola e le mettiamo a sistema.

Risolviamo:

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=13\\ y=x^2-1\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}y=3\wedge y=-4\\ x^2=y+1\end{array}.$

Le soluzioni del sistema sono le coppie ________ e $(2;3)$.

Risolvi il seguente sistema simmetrico di quarto grado.
$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2={\displaystyle \frac{37}{4}}\\ xy={\displaystyle -\frac{3}{2}}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2={\displaystyle \frac{37}{4}}\\ xy={\displaystyle -\frac{3}{2}}\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}(x+y{)}^2-2xy={\displaystyle \frac{37}{4}}\\ xy={\displaystyle -\frac{3}{2}}\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}(x+y{)}^2+3={\displaystyle \frac{37}{4}}\\ xy={\displaystyle -\frac{3}{2}}\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}(x+y{)}^2={\displaystyle \frac{25}{4}}\\ xy={\displaystyle -\frac{3}{2}}\end{array}\to$

Esaminiamo primo il caso in cui la prima equazione è $x+y={\displaystyle \frac{5}{2}}$.

Risolvere il sistema $\{\begin{array}{l}x+y={\displaystyle \frac{5}{2}}\\ xy={\displaystyle -\frac{3}{2}}\end{array}$,

significa trovare due numeri la cui somma sia ${\displaystyle \frac{5}{2}}$ e il cui prodotto sia ${\displaystyle -\frac{3}{2}}$.

Questo è equivalente a trovare le soluzioni dell'equazione di secondo grado ${\displaystyle t^2-\frac{5}{2}t-\frac{3}{2}=0}$.

${\displaystyle t^2-\frac{5}{2}t-\frac{3}{2}=0\to }$

$2t^2-5t-3=0\to$

${\displaystyle t=-\frac{1}{2}\vee t=3}$.

Due soluzioni del sistema sono quindi

________

Esaminiamo adesso il caso in cui la prima equazione è $x+y={\displaystyle -\frac{5}{2}}$.

Risolvere il sistema $\{\begin{array}{l}{\displaystyle x+y=-\frac{5}{2}}\\ {\displaystyle xy=-\frac{3}{2}}\end{array}$,

significa trovare due numeri la cui somma sia ${\displaystyle -\frac{5}{2}}$ e il cui prodotto sia ${\displaystyle -\frac{3}{2}}$.

Questo è equivalente a trovare le soluzioni dell'equazione di secondo grado

$t^2+{\displaystyle \frac{5}{2}t}$________${\displaystyle \frac{3}{2}=0}$.

$t^2+{\displaystyle \frac{5}{2}t-\frac{3}{2}=0\to }$

$2t^2+5t-3=0\to$

________.

Due soluzioni del sistema sono quindi

________

In un numero di due cifre la somma della cifra delle unità con il doppio della cifra delle decine è $10$. La somma dei reciproci dei quadrati delle due cifre è ${\displaystyle \frac{5}{18}}$. Qual è il numero?

Indichiamo con $x$ la cifra delle unità e con $y$ la cifra delle decine e scriviamo il sistema risolvente.

________

Risolvento il sistema otteniamo:

$\{\begin{array}{l}x+2y=10\\ 18x^2+18y^2-5x^2{y}^2=0\end{array}\to$

Il numero è ________.

Verifica che la circonferenza $x^2+y^2=10$ è tangente all'iperbole di equazione $xy=5$.

Per verificare che la circonferenza è tangente all'iperbole risolviamo il sistema formato dalle equazioni della circonferenza e dell'iperbole:

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=10\\ xy=5\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}(x+y{)}^2=20\\ xy=5\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}x+y=\pm 2\sqrt{5}\\ xy=5\end{array}$

Esaminiamo prima il caso in cui la prima equazione è

$x+y=2\sqrt{5}$.

Risolvere il sistema

$\{\begin{array}{l}x+y=2\sqrt{5}\\ xy=5\end{array}$,

significa trovare due numeri la cui somma sia $2\sqrt{5}$ e il cui prodotto sia $5$.

Questo è equivalente a trovare le soluzioni dell'equazione di secondo grado

$t^2-2\sqrt{5}t+5=0$.

$t^2-2\sqrt{5}t+5=0\to$

$(t-\sqrt{5}{)}^2=0\to$

$t=\sqrt{5}$

Una soluzione del sistema è quindi il punto ________.

Esaminiamo adesso il caso in cui la prima equazione è $x+y=-2\sqrt{5}$.

Risolvere il sistema $\{\begin{array}{l}x+y=-2\sqrt{5}\\ xy=5\end{array}$,

significa trovare due numeri la cui somma sia $-2\sqrt{5}$ e il cui prodotto sia $5$.

Questo è equivalente a trovare le soluzioni dell'equazione di secondo grado

$t^2$________$2\sqrt{5}t+5=0$.

$t^2$________$2\sqrt{5}t+5=0\to$

$(t+\sqrt{5}{)}^2=0\to$

$t=-\sqrt{5}$.

Una soluzione del sistema è quindi il punto $(-\sqrt{5};-\sqrt{5})$.

Avendo trovato due soluzioni, una nel primo quadrante e una nel quarto, concludiamo che la circonferenza e l'iperbole sono tangenti nei due punti trovati.

Calcola il perimetro e l'area del quadrilatero che ha come vertici i punti di intersezione fra la circonferenza $x^2+y^2=13$ e l'iperbole $xy=6$.

Mettiamo a sistema le equazioni della circonferenza e dell'iperbole e risolviamo il sistema.

$\{\begin{array}{l}xy=6\\ x^2+y^2=13\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}xy=6\\ (x+y{)}^2-2xy=13\end{array}\to$

Il sistema è equivalente ai due sistemi simmetrici.

Le soluzioni del sistema sono le coppie simmetriche $(-3;-2),(-2;-3),(2;3),(3;2)$.

Il quadrilatero che ha come vertici i punti di intersezione fra la circonferenza e l'iperbole è un ________ di base ________ e altezza $\sqrt{2}$.

Il suo perimetro è:

$2p=$________ e l'area è $A=10$.

In un rombo di area $18$ cm², la somma dei quadrati delle diagonali è $153$. Determina la misura delle diagonali del rombo.

Siano $x$ e $y$ le misure delle diagonali del rombo con $x,y\ge 0.$

Dal testo del problema possiamo scrivere il seguente sistema:

Risolviamo:

$\{\begin{array}{l}xy=36\\ (x+y{)}^2=225\end{array}\to \{\begin{array}{l}xy=36\\ x+y=\pm 15\end{array}.$

Osserviamo che $x$ e $y$ sono le misure delle diagonali di un rombo, quindi non è possibile che la loro somma sia $-15$.

Risolvere il sistema $\{\begin{array}{l}xy=36\\ x+y=15\end{array}$, significa trovare due numeri la cui somma sia 15 e il cui prodotto sia $36$.

Questo è equivalente a trovare le soluzioni dell'equazione di secondo grado

$t^2$________$=0$.

$t^2$________$=0\to$

$t=3\vee t=12$.

Due soluzioni del sistema sono quindi

________,

Concludiamo quindi che le diagonali del rombo misurano $3$ cm e $12$ cm.

In un rettangolo la diagonale misura $15a$ e l'area $108a^2$. Calcola il perimetro del rettangolo.

Osserviamo che, visto che la diagonale misura $15a$, si ha necessariamente

$a$________$0$.

Siano $x$ e $y$ rispettivamente la base e l'altezza del rettangolo, con $x$, $y$$\ge 0$.

Dal testo del problema possiamo scrivere il seguente sistema:

Risolviamo:

$\{\begin{array}{l}(x+y{)}^2=441a^2\\ xy=108a^2\end{array}\to \{\begin{array}{l}x+y=\pm 21a\\ xy=108a^2\end{array}.$

Osserviamo che l'equazione

$x+y=$________

risulta incompatibile con il nostro problema, essendo la somma di due quantità positive uguagliata a una quantità negativa.

Risolviamo quindi il sistema

$\{\begin{array}{l}x+y=21a\\ xy=108a^2\end{array}$

Risolvere questo sistema, significa trovare due numeri la cui somma sia $21a$ e il cui prodotto sia $108a^2$.

Questo è equivalente a trovare le soluzioni dell'equazione di secondo grado

$t^2-21a+108a^2=0.$

$t^2-21a+108a^2=0\to$

$\mathrm{\Delta }=441a^2-432a^2=9a^2\to$

${\displaystyle t_{1,2}=\frac{12a\pm \sqrt{9a^2}}{2}=\frac{21a\pm 3a}{2}\to }$

$t=9a\vee t=12a$.

Concludiamo quindi che la base del rettangolo misura $9a$ e l'altezza $12a$, o viceversa.

Il perimetro del rettangolo in entrambi i casi misura ________.

Il prodotto di due numeri aumentato di $20$ è uguale a $5$. La somma dei reciproci dei quadrati dei due numeri è ${\displaystyle \frac{34}{225}}$. Determina i due numeri.

Indichiamo con $x$ e $y$ i due numeri e impostiamo il sistema risolvente.

________

Risolviamo il sistema:

$\{\begin{array}{l}xy=-15\\ 225x^2+225y^2-34x^2{y}^2=0\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}xy=-15\\ x^2+y^2=34\end{array}\to$

Il sistema è equivalente ai seguenti due sistemi simmetrici:

$\{\begin{array}{l}xy=-15\\ x+y=-2\end{array}.$

I due numeri sono ________ oppure $-5$ e $3$.

In un triangolo isoscele il lato obliquo è lungo $13$ cm e l'area è di $60$ cm². Trova le misure della base e dell'altezza relativa.

Sia $x$ metà base del triangolo isoscele, e $y$ la sua altezza, con $x,y\ge 0$.

Dal testo del problema possiamo scrivere il seguente sistema.

Risolviamolo:

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{2xy}{2}=60}\\ x^2+y^2=169\end{array}\to \{\begin{array}{l}xy=60\\ x^2+y^2=169\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}xy=60\\ (x+y{)}^2-2xy=169\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}xy=60\\ (x+y{)}^2-120=169\end{array}\to$

Osserviamo che essendo $x$ e $y$ lunghezze di due lati, non è possibile che la loro somma sia $-$________.

Quindi il sistema da risolvere è

Risolvere questo sistema, significa trovare due numeri la cui somma sia $17$ e il cui prodotto sia $60$.

Questo è equivalente a trovare le soluzioni dell'equazione di secondo grado

$t^2-$________$t+60=0$, che ha come soluzioni $t=5$ e $t=12$.

Due soluzioni del sistema sono quindi $(5;12)$ e $(12;5)$.

Concludiamo che la base del triangolo misura ________ cm e l'altezza $12$ cm, o ________.

Giorgia e Louise sono due amiche. La somma dei quadrati delle loro età attuali è $325$. Cinque anni fa la somma dei quadrati delle loro età era $125$. Sapendo che Giorgia è la più grande, qual è la sua età attuale?

Indichiamo con $x$ l'età di Giorgia e con $y$ quella di Louise.

Dai dati del problema, possiamo scrivere e risolvere il seguente sistema:

$\{\begin{array}{l}(x+y{)}^2-2xy=325\\ x+y=25\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}xy=150\\ x+y=25\end{array}.$

Utilizziamo l'incognita ausiliaria $t$:

$t^2$________$25t+150=0\to$

$t_1=$________, $t_2=10$.

Giorgia ha ________ anni.