Fai il punto sulle competenze - I sistemi di disequazioni

Considera un rettangolo con base di misura $b$ e altezza $b+3$. Quali valori può assumere $b$ affinché la somma fra i ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ dell'area del rettangolo e l'area di un triangolo con la stessa base ma altezza dimezzata rispetto a quella del rettangolo sia maggiore dell'area di un quadrato di lato $b+1$?


L'area del rettangolo è data dal prodotto di base e altezza, quindi
$b\cdot (b+3)=b^2+3b$.
L'area del triangolo di base $b$ e di altezza ${\displaystyle \frac{b+3}{2}}$ è data dal prodotto di base e altezza diviso $2$, quindi
${\displaystyle \frac{b\cdot \frac{(b+3)}{2}}{2}={\displaystyle \frac{\frac{b^2+3b}{2}}{2}=}}$________.
L'area del quadrato di lato $b+1$ è data da
$(b+1{)}^2=b^2+2b+1$.
Quindi:
${\displaystyle \frac{3}{4}(b^2+3b)+}$________$>b^2+2b+1\to$
$3b^2+9b+b^2+$________$>4b^2+8b+4\to$
________$>4\to$$b>$________.

Completa inserendo i simboli $<$ o $>$ in modo che i sistemi risultino impossibili.

a.   $\{\begin{array}{l}3-2x\ge 5(1-x)\\ 2(x-3)simbolo3x-5\end{array}$

b.   $\{\begin{array}{l}7x-2\ge 3x+1\\ 3-xsimbolo0\\ 5x+3>-11x-1\end{array}$

a.
Risolviamo la prima disequazione:
$3-2x\ge 5(1-x)\to$
$3-2x\ge 5-5x\to$
$3x\ge 2\to x\ge {\displaystyle \frac{2}{3}}$.
Svolgiamo i prodotti nel primo membro della seconda disequazione:
$2(x-3)\to 2x-6$.
Semplifichiamo i due membri portando a sinistra i valori con la $x$ e a destra quelli numerici; otteniamo $-x$ e ________.

Perché il sistema sia impossibile, non dobbiamo avere intersezioni tra gli insiemi delle soluzioni delle due equazioni. Se fosse $-x$________$1$ ovvero $x$________$-1$ avremmo soluzioni in comune perché ${\displaystyle \frac{2}{3}>-1}$.

Quindi deve essere $-x$________$1$.

Il simbolo da inserire nel sistema a. è ________.

b.
Risolviamo la prima e la terza disequazione:
$7x-2\le 3x+1\to$
$4x\le 3\to x\le {\displaystyle \frac{3}{4};}$

$5x+3>-11x-1\to$
$16x>-4\to {\displaystyle x>-\frac{1}{4}.}$

Semplifichiamo adesso la seconda disequazione portando a destra il termine numerico; otteniamo  $-x$ e $-3$.

Perché il sistema sia impossibile, non dobbiamo avere intersezione comune tra gli insiemi delle soluzioni delle equazioni; se fosse $-x$________$-3$, ovvero $x$________$3$ avremmo soluzioni in comune.

Deve essere allora $-x$________$-3$, e quindi $3-x$________$0$.

Un'associazione organizza una festa di beneficenza. Gli organizzatori acquistano $150$ kit di benvenuto al prezzo di $6$ € ciascuno e affittano il luogo dell'evento per $540$ €. La quota di partecipazione è di $12$ € a persona. Una volta coperte le spese, il resto del ricavato andrà in beneficenza. Indica con $x$ il numero di partecipanti.

a.   Quanti devono essere i partecipanti affinché si possano devolvere dei soldi in beneficenza?
________

b.   Come cambia tale numero se ciascun partecipante effettua anche una donazione di $6$ €?
________

Risolvi il seguente sistema.
$\{\begin{array}{l}(2x-1{)}^2-5\le (2x+3)(2x-3)\\ {\displaystyle \frac{3}{5}(x+5{)}^2<7-\frac{1}{5}(2x-3x^2)}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}(2x-1{)}^2-5\le (2x+3)(2x-3)\\ {\displaystyle \frac{3}{5}(x+5{)}^2<7-\frac{1}{5}(2x-3x^2)}\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}4x^2-4x+1-5\le 4x^2-9\\ {\displaystyle \frac{3}{5}(x^2+10x+25)<7-\frac{2}{5}x+\frac{3}{5}{x}^2}\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}-4x\le -5\\ {\displaystyle \frac{3}{5}{x}^2+6x+15<7-\frac{2}{5}x+\frac{3}{5}{x}^2}\end{array}\to$

________$\to$
________$\to$
________.
L'equazione ________.

Le seguenti affermazioni si riferiscono al sistema $\{\begin{array}{l}ax>0\\ bx<0\end{array}$.