Tipo di esercizi
Scelta multipla,
Completamento chiuso,
Vero o falso
Libro
Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1
Capitolo
Fai il punto sulle competenze - I rettangoli, i rombi e i quadrati
INFO

Matematica

A: Un parallelogramma con due lati consecutivi congruenti è un quadrato.
B: Ogni quadrato è un rettangolo.
C: Se un rombo ha le diagonali congruenti, allora è un quadrato.
D: Condizione sufficiente affinché un quadrilatero sia un quadrato è che abbia quattro angoli retti.
E: Condizione necessaria affinché un quadrilatero abbia le diagonali perpendicolari è che sia un quadrato.
Vero o falsoVero o falso
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Matematica

È dato un quadrilatero con le diagonali perpendicolari che si dimezzano scambievolmente.
Alberto afferma: «Non è detto che sia un quadrato, ma di sicuro è un rombo».
Carla afferma: «Non è detto che sia un quadrato, ma di sicuro è un rettangolo».
Daniele afferma: «Si tratta certamente di un quadrilatero a forma di aquilone».
Chi ha ragione?
A: Alberto.
B: Barbara.
C: Carla.
D: Daniele.
Scelta multiplaScelta multipla
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Matematica

Sia ABCD un rombo. Utilizzando le informazioni in figura, dimostra che:
a.   MNEF è un rettangolo;
b.   ogni vertice del rombo è punto medio dei lati del rettangolo.

Ipotesi:   ABCD rombo, MFBDNE, MNACFE.
Tesi:
a.   MNEF rettangolo
b.   MAAF, ECCN, FDDE, NBBM.

DIMOSTRAZIONE

a.   ABCD è un rombo, quindi AC è ________ a BD.
Inoltre, poiché per ipotesi MFBDNE e MNACEF, il quadrilatero MNEF ha i lati ________ e quelli consecutivi ________. Quindi è un rettangolo.

b.   Poiché ABCD è un rombo, BD è la bisettrice dell'angolo ________, quindi AD^B________.

Consideriamo i triangoli rettangoli AFD e DCE. Essi hanno:
•   ADDC perché lati del rombo ABCD;
•  AD^F________ perché complementari degli angoli BD^A e BD^C, congruenti per la dimostrazione precedente.
Quindi sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. In particolare, FDDE.

Il ragionamento si può ripetere in modo analogo per le altre tre coppie di triangoli rettangoli, ottenendo la tesi.
Completamento chiusoCompletamento chiuso
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Matematica

Sia ABCD un quadrato e siano AEAHCFCG e AEAHCFCG.
Dimostra che:
a.   EFGH è un rettangolo;
b.   HE+EFHE+EF.

Ipotesi:   ABCD quadrato, AEAHCFCG, AEAHCFCG
Tesi:
a.   EFGH è un rettangolo;
b.   HE+EFHE+EF.

DIMOSTRAZIONE

a.   Il triangolo AHE è rettangolo e ________ per ipotesi, quindi
AE^HAH^E________.
Poiché, per ipotesi, ABBC, AEFC e AECF, otteniamo:
EBBF e EEFF perché ________ di segmenti congruenti.
Da cui: BEBF perché somme di segmenti congruenti.
Quindi il triangolo EBF è rettangolo per ipotesi e isoscele per la dimostrazione precedente.
Ricaviamo: FE^BBF^E________.
Poiché:
•   AE^EAE^H+HE^F+FE^B________ per costruzione;
•   AE^Hπ4 e FE^Bπ4 per la dimostrazione precedente,
ricaviamo: HE^F________.

Analogamente si ricava EH^Gπ2, HG^Fπ2, GF^Eπ2.
Concludiamo che EFGH è un rettangolo.

b.   Per le congruenze che abbiamo dimostrato in precedenza, deduciamo che AEH e EBF sono triangoli rettangoli, isosceli e congruenti. In particolare,
EF________.

Analogamente, si dimostra che anche i triangoli EBF e AEH sono rettangoli, isosceli e congruenti.
Da cui: EF________.
Quindi HE+EFHE+EF perché somme di segmenti congruenti.
Completamento chiusoCompletamento chiuso
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Matematica

Le diagonali di un rettangolo ABCD sono lunghe 37 cm. Qual è il perimetro del rombo ottenuto congiungendo i punti medi dei lati del rettangolo?

________
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Matematica

Plaza Mayor è una delle più belle piazze di Madrid ed è famosa per essere completamente porticata. Ha forma rettangolare e una dimensione supera di 8 metri i 23 dell'altra. Un turista che vuole percorrere tutti i portici deve camminare per 446 metri.
Quanto sono lunghi i lati della piazza?

________
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Matematica

In figura, ABCD è un quadrato e DEF un triangolo equilatero.
a.   Calcola l'ampiezza di AE^D.
b.   Dimostra che i segmenti DB ed EF sono tra loro perpendicolari.

Poiché in un quadrato le diagonali sono bisettrici degli angoli e AD^C, AB^C sono retti, allora:
AD^B=BD^C=AB^D=DB^C=45.

a.   Poiché DEF è equilatero,
DE^F=EF^D=ED^F=________.
Consideriamo i triangoli rettangoli CDF e AED. Essi hanno:
•   CD________ perché ABCD è un quadrato;
•   DF________ perché DEF è un triangolo equilatero.
Quindi sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. In particolare, CD^F________.
Ne segue che FD^BBD^E perché ________ di angoli congruenti, quindi FD^B=BD^E=________.
Da cui: AD^E=AD^BBD^E=
________________=________.
Applicando il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo al triangolo rettangolo DAE otteniamo:
DE^A=________________AD^E=________.

b.   Poiché gli angoli AE^D, DE^F e BE^O sono ________, otteniamo:
BE^O=
180(________+________)=45.
Per il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo:
BO^E=180(BE^D+EB^O)=
180(45+________)=90,
cioè DB e EF sono perpendicolari.
Completamento chiusoCompletamento chiuso
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