Fai il punto sulle competenze - I rettangoli, i rombi e i quadrati

Le diagonali di un rettangolo $ABCD$ sono lunghe $37$ cm. Qual è il perimetro del rombo ottenuto congiungendo i punti medi dei lati del rettangolo?

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È dato un quadrilatero con le diagonali perpendicolari che si dimezzano scambievolmente.
Alberto afferma: «Non è detto che sia un quadrato, ma di sicuro è un rombo».
Carla afferma: «Non è detto che sia un quadrato, ma di sicuro è un rettangolo».
Daniele afferma: «Si tratta certamente di un quadrilatero a forma di aquilone».
Chi ha ragione?

Plaza Mayor è una delle più belle piazze di Madrid ed è famosa per essere completamente porticata. Ha forma rettangolare e una dimensione supera di $8$ metri i ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ dell'altra. Un turista che vuole percorrere tutti i portici deve camminare per $446$ metri.
Quanto sono lunghi i lati della piazza?

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Sia $ABCD$ un quadrato e siano $AE\cong AH\cong CF\cong CG$ e $A{E}^{\prime }\cong A{H}^{\prime }\cong C{F}^{\prime }\cong C{G}^{\prime }$.
Dimostra che:
a.   $EFGH$ è un rettangolo;
b.   $HE+EF\cong H^{\prime }{E}^{\prime }+E^{\prime }{F}^{\prime }$.

Ipotesi:   $ABCD$ quadrato, $AE\cong AH\cong CF\cong CG$, $A{E}^{\prime }\cong A{H}^{\prime }\cong C{F}^{\prime }\cong C{G}^{\prime }$
Tesi:
a.   $EFGH$ è un rettangolo;
b.   $HE+EF\cong H^{\prime }{E}^{\prime }+E^{\prime }{F}^{\prime }$.

DIMOSTRAZIONE

a.   Il triangolo $AHE$ è rettangolo e ________ per ipotesi, quindi
$A\hat{E}H\cong A\hat{H}E\cong$________.
Poiché, per ipotesi, $AB\cong BC$, $A{E}^{\prime }\cong F^{\prime }C$ e $AE\cong CF$, otteniamo:
$E^{\prime }B\cong B{F}^{\prime }$ e $E{E}^{\prime }\cong F^{\prime }F$ perché ________ di segmenti congruenti.
Da cui: $BE\cong BF$ perché somme di segmenti congruenti.
Quindi il triangolo $EBF$ è rettangolo per ipotesi e isoscele per la dimostrazione precedente.
Ricaviamo: $F\hat{E}B\cong B\hat{F}E\cong$________.
Poiché:
•   $A\hat{E}{E}^{\prime }\cong A\hat{E}H+H\hat{E}F+F\hat{E}B\cong$________ per costruzione;
•   $A\hat{E}H\cong {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ e $F\hat{E}B\cong {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ per la dimostrazione precedente,
ricaviamo: $H\hat{E}F\cong$________.

Analogamente si ricava $E\hat{H}G\cong {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, $H\hat{G}F\cong {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, $G\hat{F}E\cong {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.
Concludiamo che $EFGH$ è un rettangolo.

b.   Per le congruenze che abbiamo dimostrato in precedenza, deduciamo che $AEH$ e $E^{\prime }B{F}^{\prime }$ sono triangoli rettangoli, isosceli e congruenti. In particolare,
$E^{\prime }{F}^{\prime }\cong$________.

Analogamente, si dimostra che anche i triangoli $EBF$ e $A{E}^{\prime }{H}^{\prime }$ sono rettangoli, isosceli e congruenti.
Da cui: $EF\cong$________.
Quindi $HE+EF\cong H^{\prime }{E}^{\prime }+E^{\prime }{F}^{\prime }$ perché somme di segmenti congruenti.

In figura, $ABCD$ è un quadrato e $DEF$ un triangolo equilatero.
a.   Calcola l'ampiezza di $A\hat{E}D$.
b.   Dimostra che i segmenti $DB$ ed $EF$ sono tra loro perpendicolari.

Poiché in un quadrato le diagonali sono bisettrici degli angoli e $A\hat{D}C$, $A\hat{B}C$ sono retti, allora:
$A\hat{D}B=B\hat{D}C=A\hat{B}D=D\hat{B}C={45}^{\circ }.$

a.   Poiché $DEF$ è equilatero,
$D\hat{E}F=E\hat{F}D=E\hat{D}F=$________.
Consideriamo i triangoli rettangoli $CDF$ e $AED$. Essi hanno:
•   $CD\cong$________ perché $ABCD$ è un quadrato;
•   $DF\cong$________ perché $DEF$ è un triangolo equilatero.
Quindi sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. In particolare, $C\hat{D}F\cong$________.
Ne segue che $F\hat{D}B\cong B\hat{D}E$ perché ________ di angoli congruenti, quindi $F\hat{D}B=B\hat{D}E=$________.
Da cui: $A\hat{D}E=A\hat{D}B-B\hat{D}E=$
________$-$________$=$________.
Applicando il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo al triangolo rettangolo $DAE$ otteniamo:
$D\hat{E}A=$________________$A\hat{D}E=$________.

b.   Poiché gli angoli $A\hat{E}D$, $D\hat{E}F$ e $B\hat{E}O$ sono ________, otteniamo:
$B\hat{E}O=$
${180}^{\circ }-($________$+$________$)={45}^{\circ }.$
Per il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo:
$B\hat{O}E={180}^{\circ }-(B\hat{E}D+E\hat{B}O)=$
${180}^{\circ }-({45}^{\circ }+$________$)={90}^{\circ }$,
cioè $DB$ e $EF$ sono perpendicolari.

Sia $ABCD$ un rombo. Utilizzando le informazioni in figura, dimostra che:
a.   $MNEF$ è un rettangolo;
b.   ogni vertice del rombo è punto medio dei lati del rettangolo.

Ipotesi:   $ABCD$ rombo, $MF\parallel BD\parallel NE$, $MN\parallel AC\parallel FE$.
Tesi:
a.   $MNEF$ rettangolo
b.   $MA\cong AF$, $EC\cong CN$, $FD\cong DE$, $NB\cong BM$.

DIMOSTRAZIONE

a.   $ABCD$ è un rombo, quindi $AC$ è ________ a $BD$.
Inoltre, poiché per ipotesi $MF\parallel BD\parallel NE$ e $MN\parallel AC\parallel EF$, il quadrilatero $MNEF$ ha i lati ________ e quelli consecutivi ________. Quindi è un rettangolo.

b.   Poiché $ABCD$ è un rombo, $BD$ è la bisettrice dell'angolo ________, quindi $A\hat{D}B\cong$________.

Consideriamo i triangoli rettangoli $AFD$ e $DCE$. Essi hanno:
•   $AD\cong DC$ perché lati del rombo $ABCD$;
•  $A\hat{D}F\cong$________ perché complementari degli angoli $B\hat{D}A$ e $B\hat{D}C$, congruenti per la dimostrazione precedente.
Quindi sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. In particolare, $FD\cong DE$.

Il ragionamento si può ripetere in modo analogo per le altre tre coppie di triangoli rettangoli, ottenendo la tesi.