Fai il punto sulle competenze - I problemi con le disequazioni lineari

Per quali valori di $x\in \mathbb{N}$ la frazione ${\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{x(x+1)+7}}$ è propria?

Una frazione è propria quando il numeratore è ________ del denominatore.
Quindi abbiamo la disequazione
$(x+1{)}^2$________$x(x+1)+7$.
Svolgendo i calcoli, otteniamo:
$x^2$________$+1<x^2+x+7\to$
$2x$________$<7-1\to x<6.$
La frazione è propria per i seguenti valori di $x$:
$0,1,2,3,4,5.$

Sono dati i due polinomi:
$P(x)=a{x}^3+2x^2-3x-1$,
$Q(x)=x^3+2a{x}^2+5x+2$.
Supponiamo di dividere entrambi i polinomi per $x+1$. Per quali valori di $a$$P(x)$ fornisce resto maggiore di $Q(x)$?

Applichiamo il teorema del resto sostituendo a $x$ nei due polinomi ________.
$P(-1)=-a+2+3-1=$________
$Q(-1)=-1+2a-5+2=2a-4$
Poniamo il resto della divisione con dividendo $P(x)$ maggiore di quello della divisione con dividendo $Q(x)$.
$4-a$________$2a-4$
Risolviamo la disequazione.
$-3a>$________
$a$________${\displaystyle \frac{8}{3}}$

Un rettangolo ha dimensioni l'una il doppio dell'altra, un quadrato ha lato di misura pari a quella del lato minore del rettangolo aumentata di $1$ unità.
a.   Qual è la condizione sulla misura $a$ del lato minore del rettangolo affinché il perimetro del rettangolo sia maggiore di quello del quadrato?
b.   Supponendo soddisfatta tale condizione, aumentiamo di una stessa lunghezza sia il lato minore del rettangolo sia il lato del quadrato. Quale condizione deve soddisfare la lunghezza $x$ di tale segmento affinché resti vero che il perimetro del rettangolo è maggiore di quello del quadrato?

Il rettangolo ha dimensioni $a$ e $b$, dove
$b=2a$.
Il lato del quadrato, invece, misura ________.

a.   Il perimetro del rettangolo è
________
e quello del quadrato è
________.
Per far sì che il perimetro del rettangolo sia maggiore di quello del quadrato, impostiamo la disequazione:
$2a+2b>4(a+1)$.
Sostituiamo $b=2a$.
$2a+4a>4(a+1)$
$6a>4a+4$
$2a>4\to a>$________

b.   La misura del lato minore del rettangolo diventa:
$x+$________,
quella del lato del quadrato:
________.
Per la condizione fra i perimetri abbiamo allora:
$2(x+a)+2b>4(a+1+x)$.
Sostituiamo $b=2a$ e svolgiamo i calcoli.
$2x+2a+4a>4a+4+4x$
________$>4-2a$
$x$________$a-2$

I lati di un parallelogramma sono uno i ${\displaystyle \frac{5}{4}}$ dell'altro. Stabilisci per quali valori della misura $x$ del lato minore il semiperimetro del parallelogramma risulta maggiore del perimetro di un triangolo equilatero di lato $9$ cm.

Il semiperimetro del parallelogramma è
________${\displaystyle +\frac{5}{4}x}$
e il perimetro di un triangolo equilatero è
________ cm.
Risolviamo la seguente disequazione:
${\displaystyle x+\frac{5}{4}x>27}$
________$x>27$
$x>$________.

Yuan, nelle quattro verifiche di matematica già sostenute, ha ottenuto i seguenti voti: $6$, $6$½ , $7$½ , $7$½.
Qual è il voto più basso che può prendere nella prossima verifica perché la media sia superiore al $7$?

Una vasca della capacità di $100$ L è piena per metà. A un certo istante un rubinetto incomincia a versare acqua nella vasca, al ritmo di $10$ L/min, e nello stesso istante viene aperto lo scarico, da cui fuoriescono $8$ L/min. Dopo $7$ minuti, viene aperto un secondo rubinetto, che versa $4$ L/min nella vasca. Qual è l'intervallo di tempo, in minuti dall'istante iniziale, in cui la vasca è in grado di contenere l'acqua senza traboccare?

La vasca può ancora contenere $50$ L di acqua.
Dopo aver aperto il rubinetto e lo scarico, l'acqua della vasca aumenta di ________ L/min.
Indicando con $t$ il tempo in minuti trascorso dall'istante iniziale, il loro contributo è quindi $2t$.
Il secondo rubinetto inizia a versare $4$ L/min dopo $7$ minuti, quindi abbiamo:
$2t+4$________$\le$________.
Risolviamo la disequazione.
$2t+4t-28\le 50$
$6t\le$________
$t\le 13$
L'intervallo di tempo cercato è allora:
$0\le t\le 13$.

In un negozio di sartoria, Elena compra cinque gruccie a $1,40$ € l'una e un paio di forbici a $8$ €. È interessata anche a due tessuti diversi, che costano $4,50$ €/m e $3,20$ €/m.

Alessia deve scegliere la tariffa per l'erogazione della corrente elettrica nel suo nuovo ufficio. La società che ha contattato le propone tre offerte:
•   offerta A: fisso mensile di $44$ €, più $0,05$ €/kWh;
•   offerta B: fisso mensile di $35$ €, più $0,08$ €/kWh;
•   offerta C: $0,13$ €/kWh.
a.   In base ai kWh consumati in un mese, stabilisci quale offerta è più conveniente.
b.   Se l'ufficio di Alessia consuma $630$ kWh in un mese, qual è l'offerta più conveniente per lei?
c.   Installando apparecchiature più efficienti, Alessia riesce a ridurre del $10\mathrm{\%}$ il consumo di energia. Adesso quale opzione le conviene scegliere?

a.   Indichiamo con $x$ i kWh.
Per vedere quando l'offerta A è più costosa della B risolviamo la disequazione:
$44+0,05x>35+0,08x$
$0,05x$________$0,08x>35$________$44$
$-0,03x>-9$
$x$________$300.$
L'offerta B è più costosa della C quando:
$35+0,08x>0,13x$
$0,08x$________$0,13x>-35$
$0,05x$________$35$
$x$________$700$.
Infine l'offerta A è più costosa della C quando:
$44+0,05x>0,13$
$-$________$x>-44$
$x<$________.
Confrontando i risultati ottenuti, concludiamo che:
•   sotto i $550$ kWh è più conveniente l'offerta ________,
•   sopra i $550$ kWh conviene scegliere l'offerta ________.

b.   $630$ kWh sono ________ di $550$ kWh, allora l'offerta più conveniente è la ________.

c.   Il $10\mathrm{\%}$ di $630$ è ________.
L'ufficio di Alessia ha consumato ________ kWh, per cui l'offerta più vantaggiosa è la ________.