Fai il punto sulle competenze - I problemi con gli insiemi

In una scuola di musica $121$ adolescenti sono iscritti a un corso di chitarra. Di questi, $59$ hanno iniziato da poco e sanno suonare solo brani a livello principiante, mentre $23$ sanno suonare anche brani a livello avanzato. Se indichiamo con $P$, $I$, $A$ gli insiemi degli adolescenti che sanno suonare brani a livello principiante, intermedio e avanzato, rispettivamente, allora:

Nell'insieme universo $U$ dei libri di una biblioteca, l'insieme $R$ rappresenta i libri con la copertina rigida, $G$ i romanzi gialli e $D$ i volumi disponibili per il prestito. Solo una delle seguenti espressioni non rappresenta l'insieme dei libri gialli con copertina rigida oppure che sono disponibili per il prestito e non hanno la copertina rigida. Quale?

Una ditta ha effettuato un'indagine sul consumo di due prodotti analoghi. Fra chi ha risposto, il $77\mathrm{\%}$ ha dichiarato di utilizzare il prodotto $A$, il $49\mathrm{\%}$ il prodotto $B$. Determina la percentuale di chi ha dichiarato di utilizzare:

a.   sia $A$ sia $B$   ________.
b.   solo il prodotto $A$   ________.
c.   solo $B$   ________.

In una classe si vota per decidere dove andare in viaggio di istruzione. Le città candidate sono tre: Roma, Vienna e Parigi. Nella scheda si può esprimere anche più di una preferenza. Allo spoglio dei voti si raccolgono i seguenti dati: su $28$ schede (non bianche), $5$ persone hanno votato tutte e tre le città, $4$ hanno votato solo Roma, $3$ solo Vienna e $2$ solo Parigi; $1$ ha votato solo per Roma e Vienna e $3$ hanno votato solo per Roma e Parigi. Calcola quanti hanno votato solo per Vienna e Parigi. Quale città ha raccolto più voti?

Dal diagramma di Venn, dove $R$, $V$, $P$ indicano rispettivamente Roma, Vienna e Parigi, deduciamo che hanno votato solo per Vienna e Parigi,
$28-$________$=$________ persone.
In totale, Roma ha raccolto ________ voti, Vienna ne ha raccolti ________ e Parigi ________. Quindi la città che ha raccolto più voti è ________.

Niente da fare... Un Comune effettua un'indagine per conoscere le abitudini dei suoi cittadini. È emerso che, su $100$ intervistati, negli ultimi sei mesi:
•   $33$ sono andati a teatro;
•   $56$ sono andati al cinema;
•   $41$ hanno visitato mostre;
•   $15$ hanno visitato mostre e sono andati a teatro;
•   $13$ sono andati a teatro e al cinema;
•   $19$ hanno soltanto visitato mostre;
•   $9$ hanno visitato mostre e sono andati a teatro ma non al cinema.
Quanti intervistati non sono andati né a teatro, né al cinema, né a visitare mostre?

Dal diagramma di Venn, dove T, C, M sono rispettivamente gli insiemi degli intervistati che sono andati a teatro, al cinema e hanno visitato mostre, deduciamo che:
•   gli intervistati che sono andati a teatro, al cinema e hanno visitato mostre sono
________$=$________;
•   gli intervistati che sono andati al cinema e a teatro ma che non hanno visitato mostre sono
________$=$________;
•   gli intervistati che sono andati solo a teatro sono
$33-$________$=$________;
•   gli intervistati che hanno visitato mostre e sono andati al cinema ________ sono $7$;
•   gli intervistati che sono andati solo al cinema sono
$56-$________$=$________.

Concludiamo che gli intervistati che non sono andati né a teatro, né al cinema, né a visitare mostre sono
$100-$________$=$________.

Che geni! È stato condotto uno studio su $200$ bambini. Ciascuno di loro può avere o non avere i lobi delle orecchie attaccati ($O$), la fossetta sul mento ($F$), le lentiggini sul volto ($L$). Si sa che: $25$ hanno solo $O$, $33$ solo $F$, $67$ solo una delle tre caratteristiche, $59$ solo due di esse (di cui $15$ hanno $O$ e $L$, $18$ hanno $L$ e $F$), $128$ hanno almeno uno dei tre tratti. Indica quanti bambini:

a.   hanno tutte e tre le caratteristiche;  
________
b.   hanno solo le lentiggini;  
________
c.   non hanno alcuna caratteristica;  
________
d.   ne hanno più di una.  
________

Che cosa fai nel tempo libero? A $30$ ragazze di un'associazione giovanile viene sottoposto un questionario in cui si chiede di indicare una o più attività eventualmente svolte nel tempo libero, barrando le caselle di una lista con tre opzioni:
• leggo libri;  
• ascolto musica;  
• guardo la TV.
Si sa che: $8$ non hanno dato alcuna risposta; coloro che leggono sono tanti quanti sono quelli che guardano la TV e quelli che ascoltano musica; solo $4$ svolgono tutte e tre le attività; $5$ leggono e ascoltano musica; $6$ ascoltano musica e guardano la TV; $7$ leggono e guardano la TV.
a. Quanti sono le ragazze che hanno dichiarato di impiegare il tempo libero solo nella lettura?
b. Qual è il numero totale di caselle barrate nel complesso del questionario?

Dal diagramma di Venn, dove L, M, T sono rispettivamente gli insiemi delle ragazze che leggono, che ascoltano musica e che guardano la TV, deduciamo che:
• le ragazze che leggono e ascoltano musica ma non guardano la TV sono
________$=$________;
• le ragazze che leggono e guardano la TV ma non ascoltano musica sono
________$=$________;
• le ragazze che ascoltano musica e guardano la TV ma non leggono sono:
$6-$________$=$________;
• le ragazze che impiegano il tempo libero solo leggendo, o solo ascoltando musica, o solo guardando la TV sono:
________$-$________$=$________.

Poiché le ragazze che leggono sono tante quante sono quelli che guardano la TV e che ascoltano musica, gli insiemi L, M, T devono avere lo stesso numero di elementi. Quindi, ciascuno dei tre insiemi ha:
$(12+$________$+7+$________$):3=$
________ elementi.

Concludiamo che:
a. le ragazze che hanno dichiarato di impiegare il tempo libero solo nella lettura sono
$12-$________$=$________
b. il numero totale di caselle barrate nel complesso del questionario è
________$=$________.

Quesito sui quesiti Una scuola organizza una gara di matematica: la prova è costituita da $5$ quesiti da risolvere al computer. Per evitare suggerimenti tra i concorrenti e per garantire che ogni argomento sia presente, ogni test contiene un quesito estratto casualmente da ciascuno dei seguenti raggruppamenti: $20$ quesiti sull'unione tra insiemi, $30$ sull'intersezione, $40$ sul prodotto cartesiano, $20$ sulla differenza, $10$ sul complementare. Quante prove differenti si possono generare?

Il numero di prove differenti che si possono generare è
________$=$________.

E per finire... A una cena partecipano $90$ persone. Al termine, ognuno ordina qualcosa tra dolce, caffè e frutta: $28$ ordinano solo dolce, $10$ dolce e caffé, $19$ dolce e frutta, $3$ caffè, frutta e dolce. I commensali che ordinano solo frutta sono la metà di quelli che ordinano solo caffè. Nessuno prende solo frutta e caffè. Determina il numero di coloro che ordinano:
a.   frutta;
b.   solo dolce e frutta;
c.   o dolce o caffè;
d.   o solo dolce o solo frutta.

Nel diagramma di Venn, D, C, F sono rispettivamente gli insiemi delle persone che ordinano dolce, caffè e frutta. Indichiamo con $x$ il numero di persone che ordinano solo frutta: il numero di persone che ordinano solo caffè sarà quindi $2x$.
Dal diagramma deduciamo che:
• le persone che ordinano solo frutta o solo caffè sono
$90-$________$=$________;
• le persone che ordinano solo frutta sono
$x=$________$:$________$=$________;
• le persone che ordinano solo caffè sono
$2x=$________;
• le persone che ordinano frutta sono
$x+$________$=$
________$+$________$=$________;
• le persone che ordinano dolce o caffè sono
$2x+$________$=$
________$+$________$=$________;
• le persone che ordinano solo dolce o solo frutta sono
________$=$________;
• le persone che ordinano solo dolce e frutta sono
________$=$________.