Fai il punto sulle competenze - I parallelogrammi #304879

Dimostra che la somma delle lunghezze delle diagonali di un parallelogramma

A B C D

è minore del suo perimetro.

Ipotesi:

A B C D

parallelogramma
Tesi:

A C + D B < A B + B C + C D + D A

DIMOSTRAZIONE

Poiché

A B C D

è un parallelogramma, otteniamo:

A B + B C + C D + D A ≅ 2

________

+ 2 B C

.
Quindi possiamo riscrivere la tesi:

A C + B D < 2

________

+ 2 B C

.
Applichiamo la disuguaglianza triangolare al triangolo

A D C

:

A C

________

A B + B C

.
Applichiamo la disuguaglianza triangolare al triangolo

A B D

:

B D < A B

________

A D

.
Sommando le ultime due disuguaglianze otteniamo:

A C + B D

________

2 A B + B C

________

A D

.

A B C D

è un parallelogramma, quindi:

A C + B D

________

2 A B +

________,
che è la tesi.

Completamento chiuso

A:

Un quadrilatero con due lati paralleli è un parallelogramma.

B:

In un parallelogramma le diagonali non sono mai perpendicolari.

C:

Se un quadrilatero è diviso da una sua diagonale in due triangoli congruenti, allora è un parallelogramma.

D:

Un parallelogramma non può avere angoli retti.

E:

Se un quadrilatero ha due angoli opposti congruenti, allora è un parallelogramma.

Vero o falso

Il perimetro del parallelogramma

A B C D

è

72

cm. Le diagonali sono una il triplo dell'altra e si intersecano nel punto

O

. Sapendo che i perimetri dei triangoli

A O B

e

A O D

sono rispettivamente

47

cm e

37

cm, qual è la lunghezza della diagonale minore?

A:

6

cm

B:

12

cm

C:

18

cm

D:

36

cm

Scelta multipla

A B C D

è un parallelogramma. Trova l'ampiezza dell'angolo

x

.

________

Completamento chiuso

Nella figura,

A B C

è un triangolo isoscele di base

B C

e

r

una retta parallela a

B A

. Sapendo che

C Q ≅ B P

, dimostra che

S P B Q

è un parallelogramma.

Ipotesi:

A B ≅ A C

,

A B ∥ r

,

C Q ≅ B P

.
Tesi:

S P B Q

parallelogramma

DIMOSTRAZIONE

Per il teorema del triangolo isoscele,

A \hat{B} C ≅

________.
Inoltre

A \hat{C} B ≅ Q \hat{C} S

perché opposti al vertice.
D'altra parte,

A \hat{B} C ≅ Q \hat{S} C

perché angoli ________ delle rette parallele

r

e

A B

tagliate dalla trasversale ________.
Per la proprietà transitiva della congruenza,

Q \hat{S} C ≅ Q \hat{C} S

, quindi il triangolo

C Q S

è isoscele, con

C Q ≅

________.
Applicando ancora una volta la proprietà transitiva della congruenza, otteniamo:

Q S ≅

________.
Inoltre

Q S

appartiene alla retta

r

e

B P

appartiene alla retta

A B

. Poiché

r ∥ A B

,

Q S ∥ B P

.
Quindi il quadrilatero

S P B Q

ha una coppia di lati congruenti e paralleli,

Q S

e

B P

, perciò è un parallelogramma.

Completamento chiuso

Utilizzando le informazioni in figura, in cui

A B C D

è un parallelogramma, dimostra che

C H ≅ D L + B H

.

Ipotesi:

A B C D

parallelogramma,

D L ⊥ r

,

C K ⊥ r

,

B H ⊥ r

,

D P ⊥ C K

.
Tesi:

C K ≅ D L + B H

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo il quadrilatero

D P K L

. Esso ha:
•

D L ∥

________ perché entrambi perpendicolari a

r

;
•

D P ∥ K L

perché entrambi perpendicolari a

K C

.
Quindi

D P K L

è un parallelogramma. Ne segue che

D L ≅

________.

Consideriamo ora i triangoli

D P C

e

A H B

. Essi hanno:
•

A B ≅ D C

per ipotesi;
•

P \hat{D} C ≅ H \hat{A} B

perché angoli ________ delle rette parallele

P D

,

L K

tagliate dalla trasversale ________;
• ________

≅ H \hat{B} A

perché angoli con i lati paralleli e ________.
Quindi sono congruenti per il ________ criterio. In particolare,

B H ≅

________.
Quindi

C K ≅ P K + C P ≅ D L + B H

.

Completamento chiuso

Vero o falso?
Un quadrilatero è un parallelogramma se ha:

A:

due coppie di angoli congruenti.

B:

una coppia di lati paralleli e congruenti.

C:

le diagonali congruenti.

D:

i lati opposti congruenti.

Vero o falso

A B C D

è un parallelogramma. Trova l'ampiezza dell'angolo

x

.

________

Completamento chiuso