Fai il punto sulle competenze - I luoghi geometrici, la circ e il cerchio, i teoremi sulle corde

Su una circonferenza di centro $O$ considera due archi consecutivi $\stackrel{⌢}{AB}$ e $\stackrel{⌢}{BC}$ e indica con $M$ il punto medio di $\stackrel{⌢}{AB}$ e con $N$ il punto medio di $\stackrel{⌢}{BC}$. Traccia la corda $MN$, che interseca la corda $AB$ in $E$ e la corda $BC$ in $F$.

Dimostra che $BE\cong BF$.

Disegniamo la figura.

Ipotesi:

$\stackrel{⌢}{AM}$$\cong$$\stackrel{⌢}{MB}$

$\stackrel{⌢}{BN}$$\cong$$\stackrel{⌢}{NC}$

Tesi:

$BE\cong BF$.

Dimostrazione

Tracciamo i raggi $OM$ e $ON$ e chiamiamo rispettivamente $H$ e $K$ le intersezioni dei raggi con le corde $AB$ e $BC$.

Il triangolo $OMN$ è ________ in quanto $OM\cong ON$ perché ________. Quindi anche $O\hat{M}N\cong$________.

Consideriamo i triangoli $MEH$ e $NFK$.

Essi hanno:

• $M\hat{H}E\cong N\hat{K}F\cong$________ perché i raggi che tagliano a metà una corda sono perpendicolari a essa;
• $H\hat{M}E\cong K\hat{N}F$ per dimostrazione precedente.

quindi $M\hat{E}H\cong$________ perché la somma degli angoli interni a un triangolo è un angolo piatto.

Inoltre, $M\hat{E}H\cong B\hat{E}F$ e $N\hat{F}K\cong B\hat{F}E$ perché ________;

quindi $B\hat{E}F\cong B\hat{F}E$ per transitività della congruenza.

Concludiamo quindi che $BEF$ è un triangolo ________ perché ha angoli alla base congruenti e quindi $BE\cong BF$.

Le corde $AB$ e $CD$ della circonferenza di centro $O$ sono parallele.

Dimostra che $AC\cong DB$.

Ipotesi

$AB\parallel CD$

Tesi

$AC\cong DB$

Dimostrazione

Tracciamo il raggio $OE$ perpendicolare ad $AB$ e $CD$ che le interseca rispettivamente in $H$ e $K$.

Consideriamo i triangoli rettangoli $AOH$ e $BOH$.

Essi hanno:

• $AH\cong$________ per il teorema delle corde tagliate perpendicolarmente dal raggio.
• $OA\cong OB$ perché ________

quindi $AOH\cong BOH$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.

In particolare $A\hat{O}H\cong B\hat{O}H$ perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.

Consideriamo i triangoli rettangoli $COK$ e $DOK$.

Essi hanno:

• $CK\cong DK$ per il teorema delle corde tagliate perpendicolarmente dal raggio;
• $OC\cong OD$ perché raggi;

quindi $COK\cong DOK$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.

In particolare ________$\cong D\hat{O}K$ perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.

Infine, $AOC\cong AOH$________$C\hat{O}K\cong$$B\hat{O}H$________$D\hat{O}K\cong B\hat{O}D$.

Quindi $AC\cong BD$ perché ad angoli ________ congruenti corrispondono corde ________.