Fai il punto sulle competenze - I criteri di equivalenza e i triangoli isosceli ed equilateri

Sono congruenti due triangoli:

Per quali criteri i triangoli in figura sono congruenti?

Per quali criteri i triangoli in figura sono congruenti?

Utilizzando le congruenze segnate in figura, dimostra che $AD\cong BE$, che $DF\cong FE$ e che $CF$ è bisettrice dell'angolo $A\hat{C}B$.

Ipotesi
$CA\cong CB$
$D\hat{A}E\cong E\hat{A}B\cong D\hat{B}A\cong E\hat{B}D$

Tesi
$AD\cong BE$
$DF\cong FE$
$CF$ bisettrice di $A\hat{C}B$

Dimostrazione

Il triangolo $ABF$ ha due angoli congruenti, quindi è isoscele e $AF\cong FB$.
I triangoli $FAD$ e $FBE$ hanno:
• $FA\cong$________ per ________;
• $F\hat{A}D\cong F\hat{B}E$ per ________;
• $A\hat{F}D\cong B\hat{F}E$ perché opposti al vertice;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare $AD\cong BE$ e $DF\cong FE$.

Consideriamo i triangoli $CAF$ e $CBF$. Essi hanno:
• $CF$ in comune;
• $CA\cong CB$ per ipotesi;
• $AF\cong FB$ per ________;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare $A\hat{C}F\cong B\hat{C}F$, quindi $CF$ è bisettrice di $A\hat{C}B$.

Per quali criteri i triangoli in figura sono congruenti?

Utilizzando le informazioni in figura dimostra che $AQ\cong PB$.

Ipotesi
$C\hat{A}B\cong D\hat{B}A$
$AC\cong BD$
$C\hat{B}P\cong D\hat{A}Q$

Tesi
$AQ\cong PB$

Dimostrazione

I triangoli $ABC$ e $BAD$ hanno:
• $AB$ in comune;
• $AC\cong$________ per ipotesi;
• $C\hat{A}B\cong D\hat{B}A$ per ipotesi;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare $CB\cong AD$ e $A\hat{C}B\cong B\hat{D}A$.
Quindi $P\hat{C}B\cong$________ perché supplementari degli angoli congruenti $A\hat{C}B$ e $B\hat{D}A$.

Ora consideriamo i triangoli $CBP$ e $DAQ$. Essi hanno:
• $C\hat{B}P\cong D\hat{A}Q$ per ipotesi;
• $P\hat{C}B\cong Q\hat{D}A$ per la dimostrazione precedente;
• $AD\cong BC$ per ________
quindi sono congruenti per il secondo criterio di congruenza. In particolare $AQ\cong PB$.

Nei triangoli $ABC$ e $DEF$ è $AB\cong FD$ e $\hat{A}\cong \hat{F}$. In quale dei seguenti casi i triangoli potrebbero non essere congruenti?

Nei triangoli della figura, $AB\cong A^{\prime }{B}^{\prime }$, $CB\cong C^{\prime }{B}^{\prime }$, $AD\cong A^{\prime }{D}^{\prime }$ e $CD\cong C^{\prime }{D}^{\prime }$.
Dimostra che $ABC\cong A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Ipotesi
$AB\cong A^{\prime }{B}^{\prime }$
$CB\cong C^{\prime }{B}^{\prime }$
$AD\cong A^{\prime }{D}^{\prime }$
$CD\cong C^{\prime }{D}^{\prime }$

Tesi
$ABC\cong A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$

Dimostrazione

Per le ipotesi, abbiamo che
$CD+DB\cong CB\cong C^{\prime }{B}^{\prime }\cong C^{\prime }{D}^{\prime }+$________
e poiché $CD\cong C^{\prime }{D}^{\prime }$ deve essere anche
$DB\cong$________.

I triangoli $ABD$ e $A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ hanno perciò i tre lati ordinatamente congruenti, quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare
$A\hat{B}C\cong A\hat{B}D\cong A^{\prime }\widehat{B^{\prime }}{D}^{\prime }\cong A^{\prime }\widehat{B^{\prime }}{C}^{\prime }$.

I triangoli $ABC$ e $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ hanno:
• $AB\cong A^{\prime }{B}^{\prime }$ per ipotesi;
• $CB\cong C^{\prime }{B}^{\prime }$ per ipotesi;
• $A\hat{B}C\cong A^{\prime }\widehat{B^{\prime }}{C}^{\prime }$ per ________;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.

Sui lati obliqui del triangolo isoscele $ABC$, di base $AB$, abbiamo costruito i triangoli equilateri $BCD$ e $ACE$. Dimostra che i triangoli $ABD$ e $ABE$ sono congruenti. Detto $F$ il punto di intersezione tra $BE$ e $AD$, dimostra che la retta $CF$ passa per il punto medio della base $AB$.

Ipotesi
$AC\cong BC$
$AC\cong CE\cong EA$
$BC\cong BD\cong DC$

Tesi
$ABD\cong ABE$
$AM\cong MB$

Dimostrazione

I lati di $AEC$ sono tutti congruenti ad $AC$ e quelli di $BCD$ sono tutti congruenti a $BC$.
Essendo $AC\cong BC$ perché lati obliqui del triangolo isoscele $ABC$, per la proprietà transitiva i due triangoli equilateri hanno i lati congruenti e sono quindi congruenti per il terzo criterio.

$C\hat{A}B\cong$________ perché angoli alla base di $ABC$ triangolo isoscele.
Abbiamo inoltre che
$E\hat{A}B\cong$________$+C\hat{A}B\cong$
$D\hat{B}C+$________$\cong D\hat{B}A$.

I triangoli $ABD$ e $ABE$ hanno:
• $AB$ in comune;
• $BD\cong AE$ per ipotesi;
• $E\hat{A}B\cong D\hat{B}A$ per ________;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
Dai risultati appena ottenuti abbiamo che
$F\hat{A}B\cong D\hat{A}B\cong$________$\cong$________,
quindi il triangolo ________ è isoscele.
In particolare $FA\cong FB$.

Consideriamo ora i triangoli $FAC$ e $FBC$ e notiamo che hanno i tre ________ ordinatamente congruenti, perciò risultano congruenti per il terzo criterio.
In particolare $F\hat{C}B\cong$________e la retta $CF$ è bisettrice dell'angolo $\hat{C}$. Nel triangolo isoscele $ABC$, la bisettrice $CM$ è allora anche ________, quindi $AM\cong MB$.