Fai il punto sulle competenze - I criteri di congruenza dei triangoli rettangoli

Dati due triangoli rettangoli, indica se la congruenza dei seguenti elementi è una condizione sufficiente per la congruenza dei triangoli.

In un triangolo $ABC$ siano $AH$ e $BK$ le due altezze e sia $O$ il loro punto di intersezione. Dimostra che se $AH\cong BK$, allora i triangoli $AOK$ e $BOH$ sono congruenti.

Ipotesi:   $AH\cong BK$
Tesi:   $AOK\cong BOH$

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo i triangoli $AKB$ e $BHA$. Essi hanno:
•   $A\hat{K}B\cong B\hat{H}A\cong {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ perché $AH$ e $BK$ sono altezze;
•   ________$AB$ in comune;
•   $AH\cong BK$ per ipotesi.
Allora sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. In particolare, $AK\cong$________.

Consideriamo ora i triangoli rettangoli $AOK$ e $BOH$. Essi hanno:
•   $AK\cong$________ per la dimostrazione precedente;
•   $A\hat{O}K\cong B\hat{O}H$ perché ________.
Allora sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.

Nel triangolo isoscele sulla base $AB$ e rettangolo in $C$, sia $r$ una retta passante per $C$ e esterna al triangolo. Siano $D$ e $E$ rispettivamente le proiezioni dei vertici $A$ e $B$ su $r$. Dimostra che $DE\cong AD+BE$.

Ipotesi:   $AC\cong CB$, $A\hat{C}B\cong {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$,
$D$, $E$ proiezioni di $A$, $B$ su $r$.
Tesi:   $DE\cong AD+BE$

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo i triangoli $ADC$ e $CEB$. Essi hanno:
•   $A\hat{D}C\cong$________$\cong {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ poiché $D$ ed $E$ sono proiezioni di $A$, $B$ su $r$;
•   $AC\cong CB$ per ipotesi;
•   $D\hat{A}C\cong E\hat{C}B$ perché complementari allo stesso angolo ________.
Quindi sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. In particolare,
$DC\cong$________ e ________$\cong AD$.

Da cui la tesi:
$DE\cong DC+CE\cong BE+AD$.

Sia $ABC$ un triangolo di base $AB$ e $r$ la retta che congiunge i punti medi $M$, $N$ dei lati $AC$ e $BC$. Siano $F$, $H$ e $E$ rispettivamente le proiezioni dei vertici $A$, $B$ e $C$ su $r$. Dimostra che $AF\cong CH\cong BE$.

Ipotesi:   $AM\cong MC$; $CN\cong NB$; $F$, $H$, $E$ proiezioni rispettivamente di $A$, $C$, $B$ su $r$.
Tesi:   $AF\cong CH\cong BE$

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo i triangoli $FAM$ e $HCM$. Essi hanno:
•   $A\hat{F}M\cong C\hat{H}M\cong {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ poiché $FA$ e $CH$ sono proiezioni di $A$, ________ su $r$;
•   $AM\cong MC$ per ipotesi;
•   $A\hat{M}F\cong H\hat{C}M$ perché opposti al vertice.
Quindi sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. In particolare, $AF\cong$________.

Consideriamo ora i triangoli $CHN$ e $NEB$. Essi hanno:
•   $C\hat{H}N\cong N\hat{E}B\cong {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ poiché $CH$ e $EB$ sono proiezioni di ________, $B$ su $r$;
•   $CN\cong NB$ per ipotesi;
•   $C\hat{N}H\cong E\hat{B}N$ perché opposti al vertice.
Quindi sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. In particolare, $CH\cong$________.

Quindi, per la proprietà transitiva della congruenza,
$AF\cong$________$\cong$________.

Il quadrilatero $ABCD$ ha tutti gli angoli e i lati congruenti. Considera le informazioni in figura. Qual è l'ampiezza dell'angolo $x$?

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