Fai il punto sulle competenze - Funzioni goniometriche di angoli particolari. Angoli associati.

La funzione ${\displaystyle f(x)=\frac{2\sin x+b}{a-{\cos }^{2}x}}$ con $a,b\in \mathbb{R}$ interseca gli assi nei punti ${\displaystyle A(0;-\frac{\sqrt{2}}{2})}$ e ${\displaystyle B(\frac{\pi }{4};0)}$. Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ e calcola poi $f(\pi )$.

Per determinare i valori di $a$ e $b$ dobbiamo risolvere il sistema:

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{2\sin 0+b}{a-{\cos }^{2}0}=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{2\sin \frac{\pi }{4}+b}{a-{\cos }^2\frac{\pi }{4}}=0}\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{b}{a-1}=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\ \sqrt{2}+b=0\end{array}\to$

Quindi $f(x)={\displaystyle \frac{2\sin x-\sqrt{2}}{3-{\cos }^{2}x}}$.

Possiamo ora calcolare $f(\pi )$:

${\displaystyle f(\pi )=\frac{2\sin \pi -\sqrt{2}}{3-{\cos }^2\pi }=}$________${\displaystyle =-\frac{\sqrt{2}}{2}}$.