Fai il punto sulle competenze - Forme indeterminate

Quanto vale ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^{-x}}{{\log }_3(1-x)}}$?

Per quali valori dei parametri $a$ e $b$ la funzione $f(x)={\displaystyle \frac{a{x}^2-3x-1}{b{x}^2+1}}$ ha il grafico in figura?

Associa a ogni limite il suo risultato.

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\ln x^{\frac{1}{x}}-1)}$   ________

${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{2x}{x^3-x^2}}$   ________

${\displaystyle \underset{x\to {\frac{\pi }{4}}^{+}}{lim}\{\sqrt{2}\tan (2x)(\cos x-\sin x)\}}$   ________

${\displaystyle \underset{x\to 2^{+}}{lim}{\log }_3(5-x{)}^{\frac{1}{x-2}}}$   ________

Per quale valore del parametro $a$ vale ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{\frac{a}{2}{x}^2-2x}}{3x}=1}$?

È data ${\displaystyle f(x)=\frac{a{x}^3+b{x}^2+2x+3}{x^3-27}}$, con $a$ e $b$ parametri reali. Sapendo che ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}f(x)=\frac{68}{27}}$, quanto vale ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)}$?

Un'auto riparte da un autogrill per immettersi in autostrada, la sua velocità è descritta dalla funzione ${\displaystyle v(t)=\frac{36t}{6+t}}$, dove la velocità è misurata in m/s e il tempo $t$ in s.

a.   Dopo $10$ s, qual è la velocità dell'auto? Esprimi il risultato in km/h.
b.   Qual è la velocità limite dell'auto?

1.   Calcoliamo la velocità dell'auto dopo 10 s sostituendo a $t$ il valore $10$:
$v(10)=$________ m/s.
Trasformando il valore trovato in km/h, la velocità dell'auto dopo $10$ s è ________ km/h.

2.   Per calcolare la velocità limite dall'auto, analizziamo il comportamento di $v(t)$ per $t\to +\mathrm{\infty }$:
${\displaystyle \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}v(t)=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{36t}{6+t}=}$________,
che è una forma indeterminata.

3.   Risolviamo il limite raccogliendo al numeratore e al denominatore il termine $t$ di grado ________ e semplificando:
${\displaystyle \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{36t}{t(\frac{6}{t}+1)}=}$________.

3.   Allora la velocità limite dell'auto è di ________ km/h.