Fai il punto sulle competenze - Flessi e derivata seconda #562904

Per quali valori dei parametri

a, b, c \in R

la funzione

f (x) = e^{x} (a x^{2} + b x + c)

ha il grafico in figura? La retta rappresentata è la tangente al grafico di

f

in un suo punto di flesso.

A:

a = - 3

,

b = 5

e

c = - 6

.

B:

a = - 4

,

b = 7

e

c = - 7

.

C:

a = 3

,

b = - 7

e

c = 0

.

D:

a = 1

,

b = - 5

e

c = - 1

.

Scelta multipla

Associa a ogni funzione i suoi punti di flesso.

f (x) = x e^{x}

________

f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 12 x^{2} + 1

________

f (x) = 2 \ln x + x^{2}

________

f (x) = \frac{x}{x^{2} - 1}

________

Posizionamento

Qual è il punto di flesso della funzione

f (x) = 2 x^{3} - (k + 1) x^{2} + x + k

, con

k \in R^{+}

, in cui la tangente ha equazione

2 x + 4 y = 9

?

A:

(\frac{1}{2}; 2)

B:

(- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})

C:

(2; \frac{1}{2})

D:

(\frac{1}{2}; - \frac{1}{2})

Scelta multipla

Quale dei seguenti è un punto di flesso per la funzione

f (x) = 2 \cos^{2} x - x - 4 \sin x

?

A:

x = \frac{π}{2}

B:

x = \frac{2 π}{3}

C:

x = \frac{5}{6} π

D:

x = π

Scelta multipla

Determina per quale valore del parametro

a \in R

la funzione

f (x) = a \cos^{2} x - 2 \sin x

ammette un punto di flesso di ascissa

x = \frac{π}{6}

. Trova poi gli altri punti di flesso.

1. Calcoliamo le derivate prima e seconda della funzione:

f^{'} (x) = - 2 a \sin x \cos x - 2 \cos x

;

f^{″} (x) = 2 a \sin^{2} x - 2 a \cos^{2} x + 2 \sin x =

________

+ 2 \sin x - 2 a

.

2. Imponiamo

f^{″} (\frac{π}{6})

________

0

affinché

x = \frac{π}{6}

sia un punto di flesso per

f

:

4 a \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 \cdot (\frac{1}{2}) - 2 a = 0 \to

a =

________.

3. Determiniamo poi gli altri punti di flesso studiando il segno della derivata seconda per il valore di

a

trovato:

f^{″} (x) > 0 \to

4 \sin^{2} x + 2 \sin x - 2 > 0 \to

(2 \sin x - 1) (\sin x + 1) > 0

.
La funzione ha la concavità rivolta verso l'alto per ________,

k \in Z

, allora i suoi punti di flesso sono

x = \frac{π}{6} + 2 k π

e ________.

Completamento chiuso

Considera la funzione

f (x) = {\begin{cases} 5 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x & x \geq 0 \\ x^{2} + 2 x & x < 0 \end{cases} .

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

Cambia concavità in

x = 0

.

B:

Ha un flesso orizzontale in

x = \frac{4}{5}

.

C:

Se

x > 1

rivolge la concavità verso l'alto.

Vero o falso

Per quale valore del parametro

k \in R - {0}

la funzione

f (x) = x^{2} + k e^{x} - 1

ha un punto di flesso in

x = \ln 2

?

A:

k = - 1

B:

k = 1

C:

k = - 3

D:

k = - 2

Scelta multipla