Fai il punto sulle competenze - Fasci di rette

Sono dati i fasci di rette
$r$: $2(k+1)x-(k-3)y-5k-9=0$
e
$s$: $(2k+1)x-(k-1)y-6=0$.
Per quale valore di $k$, $r$ ed $s$ sono parallele?

Dati il fascio di rette di equazione $(3k-1)x+(4k+1)y-4-16k=0$ e i punti $A(-5;3)$ e $B(1;8)$, associa a ogni condizione della retta del fascio i valori relativi al parametro $k$.

Interseca il segmento $AB$.
________

Passa per il punto medio $M$ di $AB$.
________

Interseca il segmento $AM$.
________

È una retta verticale passante per il centro.
________

Dato il fascio di rette $(k-1)x+ky-4k+1=0$, indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

Scrivi l'equazione del fascio generato dalle rette di equazioni $2x+y=2$ e $2y-3x=11$ e trova:
a.   il centro e il senso di rotazione del fascio;
b.   le equazione delle rette che incontrano gli assi in due punti $A$ e $B$ tali che l'area del triangolo $AOB$ sia ${\displaystyle \frac{9}{2}}$;
c.   l'equazione della retta perpendicolare alla retta di equazione $y-4x=3$.

1.   Scriviamo l'equazione del fascio generato dalle due rette date:
$3x-2y+11+k(2x+y-2)=0\to$
________$-(k-2)y+11-2k=0$.

2.   Determiniamo le coordinate del centro del fascio proprio intersecando le due rette generatrici:
$\{\begin{array}{l}3x-2y+11=0\\ 2x+y-2=0\end{array}\to$
________.

3.   Per $k=0$ si ottiene la retta ${\displaystyle y=\frac{3}{2}x+\frac{11}{2}}$ e per $k=1$ si ottiene la retta $y=5x+9$. Allora il senso di rotazione del fascio è ________.

4.   Troviamo le intersezioni del fascio di rette con gli assi cartesiani:
$\{\begin{array}{l}(2k+3)x+(k-2)y-2k+11=0\\ y=0\end{array}\to$
${\displaystyle A(\frac{2k-11}{2k+3};0)}$;

$\{\begin{array}{l}(2k+3)x+(k-2)y-2k+11=0\\ x=0\end{array}\to$
________

5.   Scriviamo la formula dell'area del triangolo $AOB$ e imponiamo che sia ${\displaystyle \frac{9}{2}}$:
$\mathcal{A}={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot {\displaystyle \left|\frac{2k-11}{2k+3}\right|\cdot \left|\frac{2k-11}{k-2}\right|=\frac{9}{2}}}$.
L'equazione ha soluzioni
$k=-5\vee k=$________.
•   Per $k=-5$ troviamo la retta $x+y-3=0$.
•   Per $k=$________ troviamo la retta $16x+y+12=0$.

6.   Infine, troviamo la retta del fascio perpendicolare alla retta di equazione $y-4x=3$ che ha coefficiente angolare uguale a $4$. Allora la retta perpendicolare deve avere coefficiente angolare ________.
Imponiamo tale condizione al coefficiente angolare del fascio:
${\displaystyle m=-\frac{2k+3}{k-2}=}$________$\to$
$k=$________.
Sostiteuendo nel fascio, troviamo la retta di equazione $x+4y=15$.

La retta $r$ di equazione $4y-x-4=0$ genera un fascio di rette improprio. Quale delle seguenti rette del fascio dista $\sqrt{17}$ da $r$?

Quale dei seguenti punti è il centro del fascio di rette di equazione $(3+k)x-(2k+3)y-k=0$?