Fai il punto sulle competenze - Ellissi e rette

Qual è l'area del triangolo $ABC$ in figura?

Data l'ellisse di equazione $x^2+3y^2=36$ e un punto $C(-12;0)$, conduci da $C$ le tangenti all'ellisse nei punti $A$ e $B$. Qual è l'area del triangolo $ABC$?

Associa a ciascun punto dato dell'ellisse di equazione ${\displaystyle \frac{x^2}{18}+{\displaystyle \frac{y^2}{2}=1}}$ la retta tangente all'ellisse in quel punto.

$(3;1)$   ________

$(-3;1)$   ________

$(3;-1)$   ________

$(-3;-1)$   ________

Considera l'equazione $(k+1)x^2+y^2=k-1,k\in \mathbb{R}$.

Qual è la rappresentazione grafica della disequazione $\sqrt{108-3x^2}\ge x+6$ ?

________

Data l'equazione $k{x}^2+y^2=2(9k-1)$, $k\in \mathbb{R}$, trova per quale valore di $k$ rappresenta un'ellisse con i fuochi sull'asse $y$ ed eccentricità ${\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}}}$. Per il valore di $k$ trovato, determina le rette tangenti all'ellisse condotte dal punto $P(8;4)$.

1.   Scriviamo l'equazione dell'ellisse in forma canonica:
${\displaystyle \frac{x^2}{\frac{2(9k-1)}{k}}+\frac{y^2}{2(9k-1)}=1}$.
L'equazione rappresenta un'ellisse se:
$\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2(9k-1)}{k}>0}\\ 2(9k-1)>0\end{array}\to$ $k>$ ________.

2.   L'ellisse ha i fuochi sull'asse $y$ se
$b$ ________ $a$.
Tenendo conto della condizione al punto 1:
$\{\begin{array}{c}2(9k-1)>{\displaystyle \frac{2(9k-1)}{k}}\\ {\displaystyle k>\frac{1}{9}}\end{array}\to$
$\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{k-1}{k}>0}\\ k>{\displaystyle \frac{1}{9}}\end{array}\to$$k>$ ________.

3.   L'eccentricità è
$e=$ ________ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{3}}}$, allora:
${\displaystyle \frac{b^2-a^2}{b^2}=\frac{2}{3}\to }$
${\displaystyle 1-\frac{1}{k}=\frac{2}{3}\to }$ $k=$ ________.
La soluzione è accettabile perché rispetta la condizione di esistenza dell'ellisse e la condizione di avere i fuochi sull'asse $y$.
Per $k=$ ________, l'ellisse ha equazione $3x^2+y^2=52$.

4.   Determiniamo le rette tangenti all'ellisse, condotte dal punto $P(8;4)$. L'equazione del fascio di rette passante per $P$ è:
$y-$ ________ $=m(x-$ ________ $)\to$
$y=mx-8m+4$.
Sostituendo nell'equazione dell'ellisse, otteniamo:
$3x^2+(mx-8m+4{)}^2=52$.
Scriviamo l'equazione in forma normale:
$(3+m^2)x^2+(-16m^2+8m)x+64m^2-64m-36=0.$
Imponiamo la condizione di tangenza
$\mathrm{\Delta }$ ________ $0$.
Per semplificare i calcoli, usiamo il discriminante ridotto.
${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{4}=(-8m^2+4m{)}^2-(3+m^2)(64m^2-64m-36)=}$
$-140m^2+192m+108=0\to$
$35m^2-48m-27=0\to$
${\displaystyle m_1=\frac{9}{4}\vee m_2=-\frac{3}{7}}$

5.   Sostituendo i valori di $m$ trovati nell'equazione del fascio di rette, troviamo le due rette tangenti:
${\displaystyle m_1=\frac{9}{5}}$$\to$ ________ $x-5y=52$;
${\displaystyle m_2=-\frac{3}{7}}$$\to$ $3x+7y=$ ________.