Fai il punto sulle competenze - Ellisse e la sua equazione

Qual è il valore dell'eccentricità dell'ellisse di equazione $3x^2+4y^2=12$?

Data l'equazione
$(k+2)x^2+(3k-1)y^2=3k^2+5k-2$,
indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

Per quali valori di $k$ l'equazione ${\displaystyle \frac{x^2}{2k}+\frac{y^2}{3-k}=1}$ rappresenta un'ellisse?

Associa a ogni equazione il grafico corrispondente.

${\displaystyle x=-\frac{3}{4}\sqrt{16-y^2}}$   ________

${\displaystyle y=\frac{1}{3}\sqrt{36-x^2}}$   ________

${\displaystyle x=-\frac{4}{3}\sqrt{9-y^2}}$   ________

$y=3\sqrt{4-x^2}$   ________

Qual è l'area del triangolo $ABC$ in figura?

La piazza dell'anfiteatro di Lucca, che si può schematizzare come in figura, sorge sui resti, come dice il nome, di un antico anfiteatro a pianta ellissoidale. La piazza è lunga $80$ m e larga $60$ m. Determina l'equazione dell'ellisse che esprime la forma della pianta, e trova la distanza dei fuochi dalle $2$ porte presenti nella piazza poste ai vertici dell'asse maggiore.

1.   Le dimensioni della piazza coincidono con le misure degli assi, maggiore e minore, dell'ellisse. Nel sistema di riferimento, l'ellisse è centrata nell'origine degli assi e l'asse $x$ corrisponde alla lunghezza della piazza.
Allora ________ $=80$ e $2b=60$.

2.   Possiamo ricavare l'equazione dell'ellisse:
$a=$ ________ $\to$ $a^2=$ ________;
$b=30$ $\to$ $b^2=900$.
L'ellisse ha equazione
${\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=}$ ________.

3.   Determiniamo le coordinate dei fuochi trovando $c$:
$c^2=a^2-b^2=$ ________ $\to$ $c\simeq 26,5$.
Allora i fuochi hanno coordinate $F_1(-26,5;0)$ e $F_2(26,5;0)$.

4.   I vertici dell'asse maggiore sono i punti $A_1(-40;0)$ e $A_2(40;0)$. Allora la distanza dei fuochi dai vertici è
$d=A_1{F}_1=A_2{F}_2=$ ________ m.

Per quali valori del parametro $k\in \mathbb{R}$ l'espressione ${\displaystyle \frac{10}{2k^2-3k+1}}$ rappresenta l'eccentricità di un'ellisse che non è una circonferenza?