Fai il punto sulle competenze - Distanza di un punto da una retta e luoghi geometrici

Sono date le rette $r$: $x-7y+4=0$ e $s$ la parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante che interseca l'asse $y$ nel punto di ordinata $4$. Quale delle seguenti è una retta bisettrice dell'angolo formato da $r$ e $s$?

Per quale valore di $k$ il punto $P(k-1;2k-3)$ del primo quadrante dista $2\sqrt{5}$ dalla retta $x+2y=3$?

Per quale valore del parametro $a$ reale il punto $P(4;-2)$ dista $\sqrt{17}$ dalla retta $x+ay+5=0$ con coefficiente angolare positivo?

Qual è il luogo dei centri della circonferenza circoscritta a un triangolo $ABC$ di vertici $A(4;-4)$ e $B(1;2)$?

Associa a ogni retta la sua equazione facendo riferimento al triangolo i vertici $A(-3;0)$, $B(7;4)$ e $C(-1;5)$.

Asse di $AB$.
________

Altezza di $AC$.
________

Mediana di $BC$.
________

Bisettrice dell'angolo $\hat{A}$.
________

Considera un parallelogramma $ABCD$ di cui sono dati i punti $A(3;0)$ e $B(5;6)$. Quale dei seguenti è il luogo dei punti $C$ tali che l'area del parallelogramma sia $20$?

Andrea cammina dal punto $O$ al punto $A$, indicati nel grafico a lato, con velocità orizzontale e verticale rispettivamente pari a $1,3$ m/s e $1,1$ m/s.
a.   Determina l'equazione della traiettoria descritta da Andrea nel piano cartesiano.
b.   Sapendo che Andrea si sposta orizzontalmente di $260$ m, calcola la distanza tra il punto $O$ e il punto $A$ e il tempo impiegato per percorrerla.

1.   La traiettoria descritta da Andrea nel piano cartesiano è rettilinea perché $v_x$ e $v_y$ sono costanti. Calcoliamo il coefficiente angolare come rapporto tra le componenti verticale e orizzontale della velocità. Inoltre, Andrea parte dall'origine degli assi, dunque la retta è ________.

2.   Determiniamo l'ordinata del punto $A$, sapendo che appartiene alla retta trovata: $y_A=$ ________.

3.   Infine, calcoliamo il tempo impiegato utilizzando la formula inversa della velocità. Per farlo, dobbiamo prima calcolare il modulo della velocità conoscendo le sue componenti. Otteniamo:
$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\simeq$ ________ m/s $\to$
$\mathrm{\Delta }t={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{v}\simeq }$ ________ s.
Allora Andrea, per andare dal punto $O$ al punto $A$, impiega ________.