Fai il punto sulle competenze - Determinare l'equazione di una parabola #586111

Determina l'equazione della parabola che ha l'asse parallelo all'asse $y$ , passa per i punti $A (1; - 3)$ e $B (0; 2)$ ed è tangente alla retta di equazione $y = - 4 x + 1$ .

La parabola con asse parallelo all'asse $y$ ha equazione $y = a x^{2} + b x + c$ , con $a \neq 0$ . Imponiamo il passaggio per $A$ e $B$ .

${\begin{matrix} \end{matrix}$	________ $= a + b + c$	passaggio per $A$
${\begin{matrix} \end{matrix}$	$2 = c$	passaggio per $B$

Risolvendo con il metodo di sostituzione, otteniamo

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$b =$ ________ $- a$	.
	$c = 2$

L'equazione della parabola diventa $y = a x^{2} - (5 + a) x + 2$ .

Imponiamo che la retta sia tangente alla parabola.

${\begin{matrix} y = a x^{2} - (5 + a) x + 2 \\ y = - 4 x + 1 \end{matrix} \to$

$a x^{2} - x (a + 1) + 1 = 0$

$Δ = (a + 1)^{2} - 4 a =$

$a^{2} - 2 a + 1 = (a$ ________ $1)^{2}$ .

La condizione di tangenza è $\frac{Δ}{4}$ ________ $0$ , quindi $a = 1$ .

La parabola cercata ha equazione

$y = x^{2}$ ________ $x + 2$ .

Completamento chiuso

Determina l'equazione della parabola che ha l'asse di equazione

x = - 3

, passa per il punto

A (- 1; - 1)

e ha il fuoco di ordinata

- \frac{19}{4}

e la concavità rivolta verso l'alto. Calcola poi l'area del triangolo

A B V

, dove

V

è il vertice della parabola e

B

il punto di intersezione tra l'asse della parabola e l'asse

x

.

L'asse ha equazione

x = - 3

, quindi
________

= - 3 \to b = 6 a

.
Imponiamo il passaggio della parabola per il punto

A (- 1; - 1)

:

- 1 = a - b + c

.
Scriviamo infine l'equazione riguardante l'ordinata del fuoco:
________

= - \frac{19}{4} \to

1 - b^{2} + 4 a c + 19 a = 0

.
Mettiamo le tra equazioni a sistema e risolviamo.

{\begin{matrix} b = 6 a \\ - 1 = a - b + c \\ 1 - b^{2} + 4 a c + 19 a = 0 \end{matrix} \to

{\begin{matrix} b = 6 a \\ c = 5 a - 1 \\ - 16 a^{2} + 15 a + 1 = 0 \end{matrix}

Risolviamo l'equazione di secondo grado:

a_{1} = \frac{- 15 - 17}{- 32} = 1

;

a_{2} = \frac{- 15 + 17}{- 32} = - \frac{1}{16}

.
Scegliamo

a =

________, dato che la parabola ha concavità verso l'alto.
Quindi

b = 6

e

c = 4

. L'equazione della parabola è

y = x^{2} + 6 x + 4

.

Determiniamo la base e l'altezza del triangolo

A B V

. La base

B V

misura quanto il valore dell'ordinata di

V

in valore assoluto:

| - \frac{Δ}{4 a} | =

________.
L'altezza misura

A H = | x_{H} - x_{A} | = | - 3 + 1 | = 2

.
Quindi

A =

________

= 5

.

Completamento chiuso

L'equazione di una parabola di asse

x = 1

, passante per i punti

A (0; 4)

e

B (- 1; 19)

è:

A:

y = 5 x^{2} - 10 x - 2

.

B:

y = 5 x^{2} - 10 x + 4

.

C:

y = - 5 x^{2} - 10 x + 4

.

D:

y = 5 x^{2} - 10 x + 2

.

Scelta multipla

Determina l'equazione della parabola che ha l'asse di equazione $x = \frac{2}{3}$ , il vertice di ordinata $3$ e che passa per il punto $A (0; - 1)$ .

La parabola con asse parallelo all'asse $y$ ha equazione $y = a x^{2} + b x + c$ , con $a \neq 0$ .

Imponiamo le condizioni del testo per determinare $a$ , $b$ e $c$ .

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$- 1 = c$	passaggio per $A$
	$\frac{2}{3} = - \frac{b}{2 a}$	asse
	$3 =$ ________	ordinata del vertice

Risolvendo il sistema, otteniamo $a =$ ________, $b = 4$ e $c = - 1$ . L'equazione della parabola richiesta è
$y =$ ________ $x^{2} + 4 x - 1$ .

Completamento chiuso

L'equazione di una parabola di vertice

V (1; 1)

e fuoco

F (1; \frac{5}{4})

è:

A:

y = x^{2} - 2 x + 2

.

B:

y = x^{2} - 2 x - 1

.

C:

y = x^{2} - 2 x - 2

.

D:

y = x^{2} + 2 x + 2

.

Scelta multipla

Determina quale equazione rappresenta il grafico utilizzando i dati della figura e sapendo che gli archi rappresentati appartengono a parabole.

A:

y = {\begin{matrix} - x^{2} - 2 x & se x \leq 0 \\ 2 x^{2} - 4 x & se 0 < x \leq 1 \\ - 2 & se x > 1 \end{matrix} .

B:

y = {\begin{matrix} - x^{2} - 2 x & se x < 0 \\ 2 x^{2} - 4 x & se 0 < x \leq 1 \\ - 2 & se x \geq 1 \end{matrix} .

C:

y = {\begin{matrix} x^{2} + 2 x & se x \leq 0 \\ 2 x^{2} - 4 x & se 0 < x \leq 1 \\ 1 & se x > 1 \end{matrix} .

D:

y = {\begin{matrix} - x^{2} - 2 x & se x \leq 0 \\ 2 x^{2} - 4 x & se 0 < x \leq 1 \\ 1 & se x > 1 \end{matrix} .

Scelta multipla

L'equazione di una parabola di asse parallelo all'asse

x

, passante per i punti

A (- 5; 3)

,

B (- 9; - 1)

e

C (- 3; 1)

è:

A:

x = y^{2} + 3 y - 5

.

B:

y = - x^{2} + 3 x + 5

.

C:

y = - x^{2} + 3 x - 5

.

D:

x = - y^{2} + 3 y - 5

.

Scelta multipla

Considera la parabola di equazione

y = - 3 x^{2} + k x - 1 - k

.
Associa a ciascuna delle seguenti condizioni i valori di

k

corrispondenti.

La parabola passa per l'origine.
________

La parabola ha la direttrice di equazione

y = \frac{17}{12}

.
________

La parabola è tangente alla retta di equazione

y = - 5 x + 1

.
________

Posizionamento

Ernesto lancia la palla al suo cane dall'altezza di

1

m da terra. La palla segue una traiettoria parabolica e viene afferrata dal cane, che si trova a

10

m da Ernesto, alla stessa altezza da cui viene lanciata. Sapendo che la palla raggiunge un'altezza massima da terra di

2

m, qual è l'equazione della sua traiettoria nel riferimento

O x y

della figura?

A:

y = - \frac{1}{5} x^{2} + \frac{2}{5} x + 1

B:

y = - \frac{1}{25} x^{2} + \frac{2}{5} x + 1

C:

y = \frac{1}{25} x^{2} + \frac{2}{5} x + 1

D:

y = - 25 x^{2} + \frac{2}{5} x + 1

Scelta multipla

Qual è l'equazione della parabola che ha l'asse di equazione

y = 1

, passa per l'origine e ha il vertice sulla retta di equazione

y = 3 x + 7

?

A:

y = 2 x^{2} - 4 x

B:

x = - 2 x^{2} + 4 x

C:

y = - 2 x^{2} - 4 x

D:

x = 2 y^{2} - 4 y

Scelta multipla