Fai il punto sulle competenze - Determinare l'equazione di un'iperbole

Determina l'equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse $x$, il cui asse non trasverso misura $4$ e l'eccentricità è $\sqrt{5}$.
Chiamati $A$ e $B$ i punti dell'iperbole di ascisse rispettivamente $-3$ e $3$ e ordinate negative, determina l'area del trapezio che ha $AB$ come base maggiore e l'asse trasverso dell'iperbole come base minore.

1.   Determiniamo l'equazione dell'iperbole, mettendo a sistema le condizioni date:

$\{\begin{array}{c}b=2\\ {\displaystyle \frac{c}{a}=\sqrt{5}}\end{array}\to \{\begin{array}{c}b=2\\ {\displaystyle a^2+b^2=5a^2}\end{array}\to$

Allora l'iperbole ha equazione ________.

2.   Troviamo le coordinate dei punti $A$ e $B$ dell'iperbole. Per farlo, scriviamo l'equazione dell'iperbole esplicitando la $y$.

Otteniamo $y=\pm$________$\sqrt{x^2-1}$.

Sostituiamo $x=\pm 3$ e troviamo

$y=\pm$________.

Dunque $A(-3;$________$)$ e $B(3;-4\sqrt{2})$.

3.  

Troviamo le misure delle basi maggiore e minore e dell'altezza del trapezio.

• La base maggiore è il segmento $AB$: $B=|-3-(-3)|=6$.
• La base minore è l'asse trasverso, dunque $2a=$________.
• L'altezza corrisponde all'inverso dell'ordinata dei punti $A$ e $B$, ossia $h=4\sqrt{2}$.

4. Calcoliamo l'area del trapezio:

${\displaystyle \mathcal{A}=\frac{(B+b)\cdot h}{2}=}$________.