Fai il punto sulle competenze - Calcolo dei volumi

Qual è il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all'asse $x$ della superficie che ha come contorno l'arco $\widehat{OP}$ e il segmento $\overline{OP}$?

Qual è il volume del solido che ha come base la regione finita del piano delimitata dalla curva di equazione $y=x\sqrt[3]{x}$ e dall'asse $y$ nell'intervallo $1\le y\le 4$ e ha come sezioni perpendicolari all'asse $y$ dei quadrati?

Associa a ciascun solido notevole il suo volume.

Cono retto di raggio di base $a$ e altezza $b$.
________

Sfera di raggio $a$.
________

Cilindro di raggio di base $a$ e altezza $b$.
________

Piramide retta di area di base $a^2$ e altezza $b$.
________

Considera la funzione ${\displaystyle f(x)=\frac{6}{x+1}-2}$. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

Considera il solido ottenuto mediante una rotazione completa intorno all'asse $y$ del trapezoide individuato dalla funzione $y=5-7x^2$ per $0\le y\le a$.

Per $a=$ ________ il solido ha volume ${\displaystyle \frac{8}{7}\pi }$.
Per $a=$ ________ il solido ha volume ${\displaystyle \frac{9}{14}\pi }$.
Per $a=$ ________ il solido ha volume ${\displaystyle \frac{3}{2}\pi }$.
Per $a=$ ________ il solido ha volume ${\displaystyle \frac{7}{50}\pi }$.

Un mobilificio sta progettando un tavolino con tre gambe, ognuna schematizzata come in figura, e una lastra di vetro dal peso di $2,5$ kg. Quale sarà il peso del tavolino se per realizzare le gambe verrà utilizzato un legno di densità $1,5$ kg/dm³?

Per determinare il peso del tavolino dobbiamo calcolare il volume delle gambe. Ciascuna gamba è composta da due componenti.
Il volume della prima componente si ottiene dalla rotazione completa attorno all'asse $y$ della superficie individuata dal grafico della funzione $x=\sqrt{-y^2+9y-20}$ nell'intervallo ________ $\le y\le 5$:
$V_1=\pi$ ________ ________ $dy=$
${\displaystyle \pi {\int }_4^5(-y^2+9y-20)dy=}$
${\displaystyle \pi [-}$ ________ ${\displaystyle +9\frac{y^2}{2}-20y}$ ________ $={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.
La prima componente ha un volume di ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ dm³.
Il volume della seconda componente si ottiene dalla rotazione completa attorno all'asse $y$ della superficie individuata inversa dal grafico della funzione $y=-16x^2+4$ nell'intervallo $0\le y\le$ ________.
Scriviamo la funzione inversa di $y=-16x^2+4$:
$y=-16x^2+4\to x=$ ________.
Calcoliamo il volume della seconda componente:
${\displaystyle V_2=\pi {\int }_0^4[}$ ________ ${]}^{2}dy=$
${\displaystyle \pi {\int }_0^4\frac{4-y}{16}dy=}$
${\displaystyle \frac{\pi }{16}[4y-}$ ________ ${]}_0^4={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.
La seconda componente ha un volume di ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ dm³.
Il volume di una gamba del tavolo è la somma dei volumi delle due componenti:
${\displaystyle V=V_1+V_2=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{2}=\frac{2}{3}\pi }$.
Quindi il peso del tavolino è
$P=2,5+$ ________ $\cdot 1,5\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{3}\cong }$ ________.
Possiamo concludere che il tavolino avrà un peso di circa ________ kg.

Per quale valore di $a$ il solido generato dalla rotazione completa intorno all'asse $x$ del grafico della funzione $y=\sqrt{a^x}$, definita in $[0;2]$, ha volume ${\displaystyle \frac{8\pi }{\ln 3}}$?