Fai il punto sulle competenze - Asintoti e loro ricerca

Per quali valori di $a$, $b$ e $c$ il grafico può rappresentare la funzione $f(x)={\displaystyle \frac{a{x}^3+b{x}^2+10x-10}{c{x}^2+dx}}$?

Per quali valori dei parametri $a$ e $b$ la funzione ${\displaystyle f(x)=\frac{a{x}^4+b{x}^3-1}{a-6x^3}}$ ha asintoto ${\displaystyle y=-\frac{1}{3}x+2}$?

Indica se le seguenti affermazioni relative alla funzione $f(x)={\displaystyle \frac{3x^3-1}{a{x}^2-2x}}$ con $a\in \mathbb{R}-\{0\}$ sono vere o false.

Quanto vale l'area del triangolo formato dagli asintoti della funzione $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2}\sqrt{\frac{9}{4}{x}^6+3}}$ per $x\to \pm \mathrm{\infty }$ con la retta di equazione $y=-6$?

Quale delle seguenti rette è un asintoto per la funzione $f(x)={\displaystyle \frac{6x^2-x+1}{1+3x}}$?

Per quale valore di $k$, con $k\ne 0$, la funzione ${\displaystyle f(x)=x\cdot \frac{k{e}^{-x}}{1-2e^{-x}}}$ ha asintoto $y=-2x$ per $x\to -\mathrm{\infty }$?

Associa a ogni funzione il suo asintoto per $x\to +\mathrm{\infty }$.

$f(x)={\displaystyle \frac{2x^5-3x+1}{x^4-1}}$  
________

$g(x)=5-2\sqrt{x^2+4x+5}$  
________

$h(x)={\displaystyle \frac{12\ln (x)+1}{1-3\ln (x)}}$  
________

$k(x)=e^{-x}-x$
________

Sofia decide di prepararsi una tisana da bere dopo cena guardando un film. Inizialmente la tisana ha una temperatura di $90{}^{\circ }$C, per cui Sofia deve aspettare che si raffreddi prima di berla. La temperatura di raffreddamento della bevanda segue l'andamento della funzione $T(t)=20+a\cdot e^{-\frac{3}{10}t}$, dove il tempo $t$ è misurato in minuti.
a.   Quanto tempo deve aspettare Sofia prima che la tisana raggiunga una temperatura minore di $24{}^{\circ }$C?
b.   Se Sofia si dimenticasse della tisana per diverse ore, quale sarebbe la temperatura della bevanda? Cosa rappresenta il risultato trovato per la funzione $T(t)$?

1.   Determiniamo il valore del parametro $a$ sapendo che la temperatura iniziale della tisana è di $90{}^{\circ }$C:
$T(0)=20+a=90\to a=$ ________.
Quindi la funzione di raffreddamento della tisana in funzione del tempo è
$T(t)=20+$ ________ $\cdot e^{-\frac{3}{10}t}$.

2.   Troviamo dopo quanto tempo la tisana raggiunge una temperatura di $24{}^{\circ }$C imponendo $T(t)=24$ e risolvendo l'equazione:
$20+70\cdot e^{-\frac{3}{10}t}=24\to$${\displaystyle e^{-\frac{3}{10}t}=}$ ________ $\to$
${\displaystyle -\frac{3}{10}t=\ln }$ ________   $t\simeq$ ________.
Sofia riuscirà a bere la tisana dopo circa ________ minuti.

3.   Infine, troviamo quale sarebbe la temperatura della tisana se Sofia si dimenticasse di averla preparata calcolando il limite di $T(t)$ quando $t\to +\mathrm{\infty }$:
${\displaystyle \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}T(t)=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}(20+70\cdot e^{-\frac{3}{10}t})=}$ ________.
Allora la temperatura della tisana dopo ore sarebbe intorno ai ________.

4.   Il risultato trovato rappresenta, per la funzione $T(t)$, un asintoto ________ di equazione ________.