Fai il punto sulle competenze - Applicazioni dei teoremi sui triangoli rettangoli #567175

Considera il deltoide

A B C D

con l'angolo

A \hat{B} C = \frac{π}{2}

. Indica con

O

il punto di intersezione tra le due diagonali. Se l'angolo

C \hat{A} B = x

e la diagonale maggiore

A C = a

, stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

A_{A B C} = \frac{1}{2} a^{2} \cos x \sin x

B:

A_{A O B} = \frac{1}{2} a^{2} \cos^{2} x \sin x

C:

A_{B O C} = \frac{1}{2} a^{2} \cos x \sin^{2} x

D:

A_{A B D} = a^{2} \cos^{3} x \sin x

E:

A_{B C D} = a^{2} \cos^{3} x \sin^{2} x

Vero o falso

Considera la circonferenza di raggio

1

, associa ciascun angolo alla circonferenza alla lunghezza della corda corrispondente.

\frac{π}{6}

________

\frac{π}{3}

________

\frac{π}{4}

________

\frac{π}{12}

________

Posizionamento

Alan, Bea e Catherine stanno percorrendo una rotonda. Se Alan e Bea sono distanti

26

m e Catherine li vede distanti tra loro di un angolo di

60^{\circ}

, quanto è lunga approssimativamente la circonferenza che delimita la rotonda?

A:

15 π

m

B:

30 π

m

C:

225 π

m

D:

900 π

m

Scelta multipla

Su una semicirconferenza di diametro

\bar{A B} = 3

considera la corda

A C

, che misura

\sqrt{3}

. La corda

B D

interseca

A C

in

P

. Quanto può misurare l'area del triangolo

A P B

?

A:

1, 74

B:

3

C:

1, 5

D:

2, 12

Scelta multipla

Completa le seguenti affermazioni osservando la figura.

L'area del triangolo

A B E

è ________.
L'area del triangolo

E B D

è ________.
L'area del triangolo

D B C

è ________.
L'area della figura

A B C D E

è ________.

Completamento chiuso

Considera un rombo

A B C D

di area

24

cm². Se l'angolo

D \hat{A} B = 74^{\circ}

, stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

Il lato del rombo

A B

è lungo circa

5

cm.

B:

La diagonale minore del rombo

B D

è lunga circa

6

cm.

C:

La diagonale maggiore del rombo

A C

è lunga circa

8

cm.

Vero o falso

Considera una circonferenza di raggio

r

e una sua corda

\bar{A B} = \sqrt{2} r

. Sul maggiore dei due archi

\hat{A B}

prendi un punto

P

e poni

P \hat{A} B = x

.

a. Determina

\bar{A P}

in funzione di

x

.
b. Se

\bar{A P} = r

, determina l'area del triangolo

A P B

.

Per il teorema della corda

\bar{A B} = 2 r \sin

________ allora

A \hat{P} B = \arcsin \frac{\bar{A B}}{2 r} = \arcsin \frac{\sqrt{2} r}{2 r} =

________, perché

P

è un punto sul maggiore degli archi

\hat{A B}

.

A P B

è un triangolo allora:

A \hat{P} B + P \hat{B} A + P \hat{A} B = π

.
Sostituendo si ottiene:

P \hat{B} A = π

________

\frac{π}{4}

________

x

= \frac{3}{4} π - x

.
Possiamo scrivere

\bar{A P}

in funzione di

x

utilizzando il teorema della corda:

\bar{A P} = 2 r

________

(\frac{3}{4} π - x)

.
Se

\bar{A P} = r

, allora

2 r \sin (\frac{3}{4} π - x) = r \to

\sin (\frac{3}{4} π - x) = \frac{1}{2} \to

\frac{3}{4} π - x =

________

\lor

\frac{3}{4} π - x =

________

\to

x = \frac{7}{12} π \lor x = - \frac{1}{12} π

.
Possiamo concludere che se

\bar{A P} = r

allora

x = \frac{7}{12} π

.
Allora l'area del triangolo

A P B

è:

A_{A P B} = \frac{1}{2} \bar{A B} \cdot \bar{A P} \cdot \sin

________

=

\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} r \cdot r \cdot \sin \frac{7}{12} π =

________

r^{2}

.

Completamento chiuso