Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Trigonometria Triangoli rettangoli Secondo teorema dei triangoli rettangoli

Fai il punto sui fondamentali - Triangoli rettangoli

6 esercizi

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INFO

Teoremi su triangoli rettangoli

In un triangolo rettangolo, i due cateti

A B

A C

misurano rispettivamente

3 \sqrt{3}

3

. Quale delle uguaglianze seguenti è falsa?

\bar{B C} = 6

A \hat{B} C = \frac{π}{6}

\tan A \hat{C} B = \frac{\sqrt{3}}{3}

\cos A \hat{C} B = \frac{1}{2}

Scelta multipla

Teoremi sui triangoli rettangoli

Nel triangolo

A B C

l'altezza

C H

misura

8

\bar{A H} = 6

C \hat{B} A = 30^{\circ}

. Associa a ogni lato del triangolo la sua misura.

A B

________

B C

________

C A

________

Posizionamento

Risoluzione di triangoli rettangoli

Risolvi i triangoli rettangoli, noti gli elementi in figura.

Si ha che

A \hat{C} B = 45^{\circ}

, quindi il triangolo

A C B

è un triangolo rettangolo isoscele:

\bar{A C} = 22

\bar{C B} =

________

= 22 \sqrt{2}

\cos α = \frac{\bar{A C}}{\bar{A B}} = \frac{5}{13} \to

α = \arcsin \frac{5}{13} = 22, 62^{\circ}

β = 90^{\circ} - α = 67, 38^{\circ}

\bar{C B} = \bar{A B}

________

≃ 24

α = 90^{\circ} - 18^{\circ} = 72^{\circ}

\bar{B C} = \bar{A C}

________

γ = 36 \cos 18^{\circ} =

36 \cdot \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4} = 9 \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}

\bar{A B} =

________

\sin γ =

36 \sin 18^{\circ} = 36 \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{4} = 9 (\sqrt{5} - 1)

\bar{C B} =

________

= 13

γ = \arctan \frac{\bar{A B}}{\bar{A C}} = 22, 62^{\circ}

β = 90^{\circ} - 22, 62^{\circ} = 67, 38^{\circ}

\bar{A C} = \bar{38^{2} - 12^{2}} = 10 \sqrt{13}

\sin α =

________

= \frac{12}{38} \to α = 18, 41^{\circ}

β = 90^{\circ} - 18, 41^{\circ} = 71, 59^{\circ}

Completamento chiuso

Teoremi sui triangoli rettangoli

Considera il triangolo in figura.

c \cos β = c \sin α

\tan α = \frac{b}{a}

\sin α = \frac{a}{c}

\frac{c}{b} = \frac{1}{\sin β}

Vero o falso

Problemi di trigonometria

In un triangolo rettangolo la lunghezza dell'altezza

A H

relativa all'ipotenusa è

12

cm e l'ampiezza dell'angolo acuto

β

22^{\circ}

. Determina il perimetro del triangolo.

\bar{A B} =

________

= 32, 03

\bar{B H} = \bar{A B} \cos β = 26, 70

γ = 180^{\circ} - (90^{\circ}

________

22^{\circ}) = 68^{\circ}

\bar{A C} = \frac{\bar{A H}}{\sin γ}

= 12, 94

\bar{H C} = \bar{A C}

________

γ = 4, 85

Il perimetro del triangolo è quindi

12, 94 + 32, 03 + 26, 70 + 4, 85 = 76, 51

cm.

Completamento chiuso

Problemi di trigonometria con equazioni

Il triangolo

A B C

è inscritto in una semicirconferenza di diametro

\bar{A B} = 6

. Indica con

H

la proiezione di

C

sul lato

A B

. Trova l'angolo

C \hat{A} B

sapendo che

\bar{C H} = 2

.

Sia

\bar{A H} = x \to \bar{H B} = 6 - x

.
Per il ________ teorema di Euclide, si ha che

\bar{A H} : \bar{C H} = \bar{C H} :

________

\to

x : 2 = 2 : (6 - x) \to x (6 - x) = 4

.
Risolvendo l'equazione ottenuta si ha che

x = 3 \pm \sqrt{5}

.

Vediamo prima il caso in cui

x = 3 + \sqrt{5}

.
Si ha che

C \hat{A} B = \arctan (

________

) =

\arctan (\frac{2}{3 + \sqrt{5}}) = 69, 09^{\circ}

.

Se invece

x = 3 - \sqrt{5}

.
Si ha che

C \hat{A} B =

\arctan (

________

) =

20, 91^{\circ}

Completamento chiuso