Fai il punto sui fondamentali - Trasformata di Laplace #574558

Teorema della funzione integrale

Calcola la trasformata di Laplace della funzione

f (x) = \int_{0}^{x} t \cos^{2} 2 t d t

.

L [f (x)] = L [\int_{0}^{x} t \cos^{2} 2 t d t] =

\frac{1}{s} L [x \cos^{2} 2 x] =

\frac{1}{s} [\frac{1}{2 s^{2}} +

________

]

Completamento chiuso

Trasformata di una funzione periodica

Considera la funzione periodica $f (x)$ rappresentata in figura.

a. Determina il periodo $T$ e scrivi l'espressione di $f (x)$ .

b. Calcola $L [f (x)]$ .

a. $T =$ ________.

$f (x) = {\begin{cases} \end{cases}$	________ $- k T$	se $k T \leq x < k T + 1$	,
	$- x + k T + 1$	se $k T + 1 \leq x < k T + 1$

$k \in R$ .

b. $L [f (x)] = \frac{1}{1 - e^{- 2 s}} \int_{0}^{2} e^{- s t} f (t) d t =$

$\frac{1}{1 - e^{- 2 s}}$ $[$ ________ $]$

Completamento chiuso

Trasformata e problemi di Cauchy

Usando la trasformata di Laplace, risolvi il seguente problema di Cauchy.

{\begin{cases} y^{'} - 2 y = \sin x \\ y (0) = 0 \end{cases}

{\begin{cases} y^{'} - 2 y = \sin x \\ y (0) = 0 \end{cases}

s L [y] - 2 L [y] =

________

L [y] =

________

\to

y = - \frac{1}{5} \cos x - \frac{2}{5} \sin x + \frac{1}{5} e^{2 x}

Completamento chiuso

Trasformata di Laplace

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

La trasformata di Laplace di

f (x) = 2 x - 1

è definita solo per

s > 0

.

B:

Se una funzione è illimitata su

[0; + \infty [

, allora non è trasformabile.

C:

La trasformata del prodotto

f (x) g (x)

è il prodotto delle trasformate di

f (x)

e di

g (x)

.

D:

La funzione

\frac{\sin x}{x}

non è trasformabile.

Vero o falso

Antitrasformata

L'antitrasformata della funzione

F (s) = \frac{2 s + 3}{s^{2} + 4}

è:

A:

2 \cos x + \frac{3}{2} \sin x

.

B:

2 \cos 2 x + \frac{3}{2} \sin 2 x

.

C:

2 \sin 2 x + \frac{3}{2} \cos 2 x

.

D:

2 \cos 2 x + \frac{3}{2} \sin \frac{3}{2} x

.

Scelta multipla

Derivazione dell'immagine

Usando il teorema di derivazione dell'immagine, calcola la trasformata di Laplace di

f (x) = x^{2} \cos x

.

L [f (x)] = L [x^{2} \cos x] =

\frac{d^{2}}{d s^{2}}

(L [

________

]) =

\frac{d^{2}}{d s^{2}} (\frac{s}{s^{2} + 1}) =

________

Completamento chiuso

Trasformata e proprietà

Associa a ogni funzione la sua trasformata di Laplace.

(x - 1)^{3}

________

e^{2 x} \cos 3 x

________

x \sin x

________

x^{2} e^{3 x}

________

Posizionamento

Trasformata e problemi di Cauchy

Usando la trasformata di Laplace, risolvi il seguente problema di Cauchy.

{\begin{cases} y^{″} - y^{'} = x^{2} \\ y (0) = 0 \\ y^{'} (0) = 1 \end{cases}

{\begin{cases} y^{″} - y^{'} = x^{2} \\ y (0) = 0 \\ y^{'} (0) = 1 \end{cases}

s^{2} L [y] - 1 - s L [y] =

________

L [y] (s^{2} -

________

)

=

\frac{2}{s^{3}} + 1

L [y] = \frac{2 + s^{3}}{(s^{2} - s) s^{3}}

\to

y = - \frac{x^{3}}{3} - x^{2} -

________

+ 3 e^{x} - 3

Completamento chiuso

Un sistema del primo ordine

In un circuito $R L$ in serie la resistenza complessiva è $R = 25 Ω$ e l'induttanza $l = 5 H$ . La $f e m$ del generatore segue la legge $f (t) = \cos t$ per $t \geq 0$ e all'istante $t = 0$ l'intensità di corrente nel circuito è di $2 A$ . Qual è la funzione che descrive l'andamento dell'intensità di corrente nel circuito?

${\begin{cases} \end{cases}$	$\frac{l}{R} i^{'} + i = \cos t$
	$i (0) =$ ________

$\frac{1}{5} (s L [i] - 2) + L [i] =$ ________

$L [i] = \frac{5 s + 2 s^{2} + 2}{(s^{2} + 1) (s + 5)} \to$

$i = \frac{25}{26}$ ________ $+ \frac{5}{26} \sin t + \frac{27}{26} e^{- 5 t}$

Completamento chiuso

Un sistema del secondo ordine

L'equazione del moto di una massa puntiforme

m

soggetta a una forza elastica di costante

k

e a un attrito viscoso con costante

γ

può essere scritta nel seguente modo:

x^{″} + δ x^{'} + ω^{2} x = 0

, dove

δ = \frac{γ}{m} > 0

e

ω^{2} = \frac{k}{m}

.
Sapendo che

x (0) = 0

e

x^{'} (0) = 1

, determina la posizione

x (t)

del punto nel caso in cui

δ = 2 ω

.

{\begin{cases} x^{″} + 2 ω x^{'} + ω^{2} x = 0 \\ x (0) = 0 \\ x^{'} (0) = 1 \end{cases}

________

L [x] - 1 + 2 ω s L [x] + ω^{2} L [x] = 0

L [x] = \frac{1}{s^{2} + 2 ω s + ω^{2}} \to

x =

________

Completamento chiuso