Fai il punto sui fondamentali - Teoremi del calcolo differenziale #369378

Teorema di Lagrange

a. Quale delle seguenti due funzioni soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo $[- 1; 2]$ ?
• $f (x) = \frac{1}{2 - x}$
• $f (x) = \sqrt{2 - x}$

b. Per la funzione individuata trova il punto (o i punti) la cui esistenza è assicurata dal teorema.

a. Affinché sia soddisfabile il teorema di Lagrange una funzione deve essere continua in $[- 1; 2]$ e derivabile in $] - 1; 2 [$ .

La funzione $f (x) = \frac{1}{2 - x}$ non è definita in $x = 2$ , quindi ________ continua in $[- 1; 2]$ .

La funzione del punto A non soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange.

La funzione $f (x) = \sqrt{2 - x}$ è definita in $x \in$ ________, in particolare è continua in $[- 1; 2]$ .

Inoltre $f^{'} (x) = - \frac{1}{2 \sqrt{2 - x}}$ è definita per $x \in] - \infty; 2 [$ , quindi $f (x)$ ________ derivabile in $] - 1; 2 [$ .

b. Possiamo applicare il teorema di Lagrange: per il teorema esiste un punto $c \in] - 1; 2 [$ tale che:

$f^{'} (c) =$	$f (2)$ ________ $f (- 1)$	.
	$2 - (- 1)$

Quindi:

$- \frac{1}{2 \sqrt{2 - c}} =$ ________ $\to$

$- \frac{1}{2 \sqrt{2 - c}} =$ ________ $\frac{\sqrt{3}}{3} \to$

$\sqrt{2 - c} =$ ________ $\frac{3}{2 \sqrt{3}} \to$

$2 - c = \frac{3}{4} \to c = \frac{5}{4}$ .

Il punto $c = \frac{5}{4}$ ________ $] - 1; 2 [$ ; è il punto di cui il teorema di Lagrange garantisce l'esistenza.

Completamento chiuso

Calcolo dei limiti con il teorema di De L'Hospital

Calcola il seguente limite applicando il teorema di De L'Hospital.

lim_{x \to + \infty} \frac{\log x}{x^{2} - 2}

Il limite si presenta nella forma indeterminata ________.
La funzione

f (x) = \log x

è continua in

] 0; + \infty [

e la funzione

g (x) = x^{2} - 2

è continua in

R

. Inoltre,

f (x)

e

g (x)

sono entrambe derivabili nel loro dominio.
La funzione

f^{'} (x) = \frac{1}{x}

è continua in ________ e

g^{'} (x) = 2 x

è continua in

R

. Inoltre

g^{'} (x) = 2 x \neq 0

nell'intorno di

+ \infty

.
Esiste infine:

lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{1}{x}}{2 x} = lim_{x \to + \infty}

________.
Quindi possiamo scrivere che:

lim_{x \to + \infty} \frac{\log x}{x^{2} - 2} = lim_{x \to + \infty}

________

=

________.

Completamento chiuso

Funzioni crescenti, decrescenti e derivate

Dal grafico, che rappresenta la derivata prima,

f^{'} (x)

, di una funzione

f (x)

definita e continua in

R - {- 3; - 1}

, puoi dedurre che:

A:

f (x)

è decrescente per

- 3 < x < 0

.

B:

f (x)

è decrescente per

0 < x < 2

.

C:

f (x)

è crescente per

x > 2

.

D:

f (x)

è crescente per

x < - 3

.

Vero o falso

Funzioni crescenti, decrescenti e derivate

La funzione

f (x) = \frac{x^{2}}{2 - x}

è decrescente nell'intervallo:

A:

x < 0 \lor x > 4

.

B:

x < - 4 \lor x > 0

.

C:

- 4 < x < 0

.

D:

0 < x < 4 \land x \neq 2.

Scelta multipla

Calcolo dei limiti con il teorema di De L'Hospital

Calcola il seguente limite applicando il teorema di De L'Hospital.

lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{x}}{x^{3} + 2 x}

Le funzioni

f (x) = 1 - e^{x}

e

g (x) = x^{3} + 2 x

________ continue in

R

, e derivabili in

R

, e

f (0) = g (0) = 0

.

Inoltre

g^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 \neq 0

in

R - {0}

. Esiste infine

lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{3 x^{2} + 2}

.

Quindi possiamo scrivere che:

lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{x}}{x^{3} + 2 x} = lim_{x \to 0}

________

=

________

\frac{1}{2}

.

Completamento chiuso

Teorema di Rolle

Indica se la funzione

f (x) = \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 4}

verifica le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo

[- 2; 2]

e, se le soddisfa, trova il punto (o i punti) la cui esistenza è assicurata dal teorema.

La funzione

f (x) = \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 4}

è continua

\forall x \in R

, e ha derivata

f^{'} (x) =

________

\frac{10 x}{(x^{2} + 4)^{2}}

,
definita

\forall x \in R .

Quindi

f (x)

è continua in

[- 2; 2]

e derivabile in ________.
Inoltre

f (- 2) = f (2) = - \frac{3}{8}

.
Per il teorema di Rolle esiste quindi un punto

c \in] - 2; 2 [

tale per cui

f^{'} (c) = 0

.
Quindi:

- \frac{10 x}{(x^{2} + 4)} = 0 \to 10 x = 0 \to x = 0

Il punto cercato è

x = 0

.

Completamento chiuso

Funzioni crescenti, decrescenti e derivate

Trova gli intervalli in cui la funzione

f (x) = \ln (x^{2} - x)

è crescente e quelli in cui è decrescente.

Il dominio della funzione è

D

: ________.
Calcoliamo la derivata di

f (x)

:

f^{'} (x) =

________.
Poniamo

f^{'} (x) > 0 \to

________

> 0

.
Abbiamo:

N

:

x >

________ e

D

:

x (x - 1) > 0 \to

x < 0 \lor x > 1

.
Compiliamo il quadro dei segni:

Poiché la funzione è definita solo per ________, abbiamo che la funzione è crescente per ________, e decrescente per ________.

Completamento chiuso

Calcolo dei limiti con il teorema di De L'Hospital.

Calcola il seguente limite applicando il teorema di De L'Hospital.

lim_{x \to + \infty} x^{3} e^{- 2 x}

Riscriviamo il limite come quoziente di due funzioni:

lim_{x \to + \infty} x^{3} e^{- 2 x} = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{3}}{e^{2 x}} .

Il limite si presenta nella forma indeterminata ________. Le funzioni

f (x) = x^{3}

e

g (x) = e^{2 x}

sono continue in

R

, derivabili in

R

, e inoltre

g^{'} (x) = 2 e^{2 x} \neq 0

. Il

lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2}}{2 e^{2 x}}

, costituito dal quoziente delle derivate, ________.
Quindi possiamo scrivere che

lim_{x \to + \infty} \frac{x^{3}}{e^{2 x}} = lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2}}{2 e^{2 x}} .

Il limite presenta ancora una forma indeterminata; reiterando il ragionamento otteniamo:

lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2}}{2 e^{2 x}} = lim_{x \to + \infty} \frac{6 x}{4 e^{2 x}} =

lim_{x \to + \infty} \frac{6}{8 e^{2 x}} =

________.

Completamento chiuso