Fai il punto sui fondamentali - Serie numeriche #450271

Serie telescopica

La somma della serie telescopica

\sum_{n = 1}^{+ \infty}

[2^{- n} (n - \frac{1}{2}) - n 2^{- n - 1}]

è:

A:

\frac{1}{2}

.

B:

1

.

C:

2

.

D:

\frac{1}{4}

.

Scelta multipla

Criterio del confronto

Studia il carattere della serie

\sum_{n = 1}^{+ \infty} n 3^{n}

utilizzando il criterio del confronto.

La serie è a termini positivi.

Osserviamo che

n 3^{n}

________

3^{n}

\forall n \in N - {0}

,
quindi la serie

\sum_{n = 1}^{+ \infty} 3^{n}

è ________ della serie data.

Dato che questa è una serie geometrica di ragione

q = 3

, essa ________. Quindi, per il teorema del confronto, la serie data ________.

Completamento chiuso

Seria armonica di ordine α

Quale delle seguenti è una serie armonica di ordine

α

ed è convergente?

A:

\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n}

B:

\sum_{n = 1}^{+ \infty} n^{2}

C:

\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^{n}}

D:

\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^{2}}

Scelta multipla

Serie geometrica

Quale delle serie è una serie geometrica ed è convergente?

A:

\sum_{n = 1}^{+ \infty} (\ln 4)^{n}

B:

\sum_{n = 1}^{+ \infty} {(\frac{1}{n})}^{n}

C:

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{7^{n}}{10^{n}}

D:

\sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n} e^{n}

Scelta multipla

Condizione necessaria di convergenza

Solo una delle seguenti serie può convergere. Quale?

A:

\sum_{n = 1}^{+ \infty} (n^{2} - 1)

B:

\sum_{n = 1}^{+ \infty} (2 - \frac{1}{n^{2}})

C:

\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{n}{n^{3} + 2}

D:

\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{n - 2}{1 + n}

Scelta multipla

Criterio del confronto

Studia il carattere della serie

\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{n - 1}{n^{3}}

utilizzando il criterio del confronto.

La serie è a termini positivi.

Osserviamo che

\frac{n - 1}{n^{3}} = \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{n^{3}}

________

\frac{1}{n^{2}}

\forall n \in N - {0}

.

Quindi la serie

\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^{2}}

è ________ della serie data.

Dato che questa è una serie armonica generalizzata di ordine

α = 2

, essa ________.
Quindi, per il teorema del confronto, la serie data ________.

Completamento chiuso

Concetto di serie

Considera la serie

\sum_{n = 1}^{+ \infty} {(\frac{1}{4})}^{n}

.

A:

Il termine generale è

a_{n} = \frac{1}{4}

.

B:

La ridotta di ordine

5

è

{(\frac{1}{4})}^{5}

.

C:

La somma parziale

s_{3}

vale

\frac{21}{16}

.

D:

La serie è convergente.

Vero o falso

Criterio del confronto

Studia il carattere della serie

\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{\ln 2 n}{n}

utilizzando il criterio del confronto.

La serie è a termini ________.

Osserviamo che

\frac{\ln 2 n}{n}

________

\frac{1}{n}

\forall n > 1

.

La serie studiata è quindi ________ della serie armonica e dunque, per il criterio del confronto, è ________.

Completamento chiuso

Criterio del confronto asintotico

Studia il carattere della serie

\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{3 n + 1}{\cos n + 2 n^{2}}

utilizzando il criterio del confronto asintotico.

Confrontiamo la serie con la serie armonica

\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n}

.

Risulta

lim_{n \to + \infty} \frac{\frac{3 n + 1}{\cos n + 2 n^{2}}}{\frac{1}{n}} =

lim_{n \to + \infty} \frac{3 n^{2} + n}{\cos n + 2 n^{2}} =

________.

La serie data ha quindi lo stesso carattere della serie armonica, pertanto ________.

Completamento chiuso

Criterio del confronto asintotico

Studia il carattere della serie

\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^{2} - \ln n}

utilizzando il criterio del confronto asintotico.

Confrontiamo la serie data con

\sum_{n = 1}^{+ \infty}

________.
Risulta

lim_{n \to + \infty} \frac{\frac{1}{n^{2} - \ln n}}{\frac{1}{n^{2}}} =

lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2}}{n^{2} (1 - \frac{\ln n}{n^{2}})} =

________.
Per il criterio del confronto asintotico la serie data dunque ________.

Completamento chiuso

Criterio del confronto asintotico

Studia il carattere della serie $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \sin^{2} \frac{1}{n}$ utilizzando il criterio del confronto asintotico.

Confrontiamo la serie data con
$\sum_{n = 1}^{+ \infty}$ ________.

Poiché

$lim_{n \to + \infty}$	$\sin^{2} \frac{1}{n}$	$=$ ________,
	________

la serie data ha lo stesso carattere della serie armonica di ordine $α = 2$ , quindi ________.

Completamento chiuso

Criterio della radice

Studia il carattere della serie

\sum_{n = 1}^{+ \infty} {(\frac{2 n}{n + 4})}^{n}

utilizzando il criterio della radice.

La serie è a termini positivi, quindi possiamo applicare il criterio della radice.

Scriviamo

\sqrt[n]{a_{n}} = \sqrt[n]{{(\frac{2 n}{n + 4})}^{n}} = \frac{2 n}{n + 4}

e calcoliamo il limite:

lim_{n \to + \infty} \frac{2 n}{n + 4} =

________.
Essendo

lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{a_{n}} > 1

,
la serie è ________.

Completamento chiuso

Criterio del rapporto

Stabilisci per quale delle seguenti serie si può utilizzare il criterio del rapporto e studia il carattere della serie individuata.
a.

\sum_{n = 1}^{+ \infty} (- 1)^{n} \frac{1}{n^{3}}

b.

\sum_{n = 2}^{+ \infty} \frac{n + 1}{n^{2} - 1}

c.

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{n + 1}{2^{n}}

La serie a è a con termini a segno alterno, quindi ________ possibile utilizzare il criterio del rapporto.
Riscriviamo il termine generico della serie b:

\frac{n + 1}{n^{2} - 1} = \frac{n + 1}{(n + 1) (n - 1)} = \frac{1}{n - 1}

.
Calcoliamo

lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = lim_{n \to + \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n - 1}} = lim_{n \to + \infty} \frac{n - 1}{n} = 1

.
________ quindi possibile determinare il carattere della serie con il criterio del rapporto.

La serie c è a termini positivi.
Calcoliamo

lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = lim_{n \to + \infty} \frac{\frac{n + 2}{2^{n + 1}}}{\frac{n + 1}{2^{n}}} =

lim_{n \to + \infty} \frac{n + 2}{2^{n + 1}} \cdot \frac{2^{n}}{n + 1} =

lim_{n \to + \infty} = \frac{n + 2}{2 (n + 1)} =

________.
Possiamo quindi applicare il criterio del rapporto per concludere che la serie ________.

Completamento chiuso

Criterio di Leibniz

Quale delle seguenti serie è convergente?

A:

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{n} n}{n^{2} + 7}

B:

\sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n + 1} \frac{3 n^{3} + 1}{4 n^{3} + 2}

C:

\sum_{n = 1}^{+ \infty} (- 1)^{n} e^{\frac{1}{n}}

D:

Nessuna.

Scelta multipla

Criterio della radice

Studia il carattere della serie

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{6 n^{2} + 1}{2^{n}}

utilizzando il criterio della radice.

La serie è a termini positivi, quindi possiamo applicare il criterio della radice.
Scriviamo

\sqrt[n]{a_{n}} = \sqrt[n]{\frac{6 n^{2} + 1}{2^{n}}} =

________
e calcoliamone il limite:

lim_{n \to + \infty} \frac{(6 n^{2} + 1)^{\frac{1}{n}}}{2} = lim_{n \to + \infty} \frac{e^{\frac{1}{n} \ln (6 n^{2} + 1)}}{2} =

________.
Essendo

lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{a_{n}}

________

1

,
la serie è ________.

Completamento chiuso

Criterio della pace

Studia il carattere della serie

\sum_{n = 1}^{+ \infty} {(\frac{4 n^{2}}{n^{2} + 2})}^{- n}

utilizzando il criterio della radice.

La serie è a termini positivi, quindi possiamo applicare il criterio della radice.
Scriviamo

\sqrt[n]{a_{n}} = \sqrt[n]{{(\frac{4 n^{2}}{n^{2} + 2})}^{- n}} =

________
e calcoliamone il limite:

lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2} + 2}{4 n^{2}} =

________.
Essendo

lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{a_{n}}

________

1

,
la serie è ________.

Completamento chiuso

Convergenza assoluta

La serie

\sum_{n = 1}^{+ \infty} (- 1)^{n} \sqrt{\frac{n + 1}{n^{2}}}

è:

A:

assolutamente convergente.

B:

semplicemente convergente.

C:

divergente.

D:

indeterminata.

Scelta multipla