Fai il punto sui fondamentali - Serie di Fourier #574480

Funzioni pari e dispari

Considera la funzione

f (x) = 5 x

, con

- π \leq x \leq π

. La serie di Fourier del prolungamento periodico di

A:

f (x)

è una serie di seni.

B:

f^{2} (x)

è una serie di seni e coseni.

C:

f (x) \sin x

è una serie di coseni.

D:

f (x) \cos x

è una serie di seni.

Vero o falso

Funzione sinusoidale

Scrivi la funzione

f (x) = 3 \cos \frac{π}{3} x + \sqrt{3} \sin \frac{π}{3} x

come una funzione sinuisoidale.

a. Qual è l'ampiezza?
________

b. Qual è il periodo?
________

Completamento chiuso

Analisi armonica

Considera la funzione

f (x) = {\begin{cases} 0 & se - π < x < 0 \\ 3 x & se 0 \leq x \leq π \end{cases}

.

A: Il valore medio è

\frac{3}{2} π

.

B: La frequenza dell'armonica di indice

4

è

4 π

.

C: L'ampiezza dell'armonica di indice

2

è

A_{2} = \frac{3}{2}

.

D: La fase iniziale dell'armonica fondamentale è

0

.

Vero o falso

Funzioni con periodo 2π

Qual è lo sviluppo in serie di Fourier del prolungamento periodico della funzione

f (x) = {\begin{cases} \frac{π}{2} - x & se - π \leq x < 0 \\ - \frac{π}{2} - x & se 0 \leq x < π \end{cases}

?

f (x) = {\begin{cases} \frac{π}{2} - x & se - π \leq x < 0 \\ - \frac{π}{2} - x & se 0 \leq x < π \end{cases}

.

Calcoliamo i coefficienti di Fourier:

a_{0} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) d x =

________;

a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) \cos n x d x = 0

;

b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) \sin n x d x =

\frac{1}{π} (\frac{3 (- 1)^{n} π}{n} -

________

) = \frac{3 (- 1)^{n} - 1}{n}

.

Abbiamo quindi:

\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{3 (- 1)^{n} - 1}{n}

________.

Completamento chiuso

Funzioni periodiche

Considera le funzioni

f (x) = \sin 8 x

e

g (x) = \cos 3 x

.
a. Determina il periodo di

f (x)

e il periodo di

g (x)

.
b. La funzione

h (x) = f (x) + g (x)

è periodica? Se sì, qual è il periodo?

a.

f (x) = \sin 8 x \to T =

________;

g (x) = \cos 3 x \to T =

________.

b.

h (x) = f (x) + g (x) = \sin 8 x + \cos 3 x

è una funzione ________.

Completamento chiuso

Coefficienti di Fourier

Determina i coefficienti di Fourier della funzione

f (x) = \sin^{2} x

, con

- π \leq x \leq π

, ricordando che

\sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}

.

f (x) = \sin^{2} x

,

- π \leq x \leq π

.

a_{0} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) d x = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} \sin^{2} x d x =

\frac{1}{π} \cdot

________

=

________

a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x)

________

d x =

\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} \sin^{2} x \cos n x d x = 0

b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) \sin n x d x =

\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} \sin^{2} x \sin n x d x =

________

Completamento chiuso

Serie di Fourier e somma

Scrivi la serie di Fourier del prolungamento periodico della seguente funzione e calcolane la somma.

$f (x) = {\begin{cases} 0 & se - π \leq x \leq 0 \\ \cos x & se 0 < x \leq π \end{cases}$ .

Calcoliamo i coefficienti di Fourier:

$a_{0} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) d x =$

$\frac{1}{π} \int_{0}^{π} \cos x d x =$ ________;

$a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) \cos n x d x =$

$\frac{1}{π} \int_{0}^{π} \cos x \cos n x d x =$

${\begin{cases} \frac{1}{2} & n = 1 \\ 0 & altrimenti \end{cases}$

$b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) \sin n x d x =$

$\frac{1}{π} \int_{0}^{π} \cos x \sin n x d x =$

$\frac{1}{π} (\frac{n}{n^{2} - 1} + \frac{(- 1)^{n} n}{n^{2} - 1})$ .

Abbiamo quindi:

________ $+$ $\frac{4}{π} \sum_{n = 1}^{+ \infty}$ ________ $\sin 2 n x$ .

La somma delle serie di Fourier è:

${\begin{cases} \end{cases}$	$\bar{f} (x)$	$\forall x \in] - π; π [$ ; $x \neq 0$	.
	________	$x = 0$
	________ $\frac{1}{2}$	$x = \pm π$

Completamento chiuso

Funzioni con periodo 2l

Qual è la serie di Fourier del prolungamento periodico della funzione

f (x) = 2 x \cos \frac{π}{6}

, con

- 2 \leq x \leq 2

?

A:

\cos \frac{π}{6} - \frac{4 \sqrt{3}}{π} \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{n}}{n} \sin \frac{n π x}{2}

B:

- \frac{4 \sqrt{3}}{π} \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{n}}{n} \sin \frac{n π x}{2}

C:

\cos \frac{π}{6} - \frac{4 \sqrt{3}}{π} \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{n}}{n} \cos \frac{n π x}{2}

D:

- \frac{4 \sqrt{3}}{π} \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{n}}{n} \cos \frac{n π x}{2}

Scelta multipla