Fai il punto sui fondamentali - Retta tangente e derivabilità #371745

Retta tangente

Scrivi l'equazione della tangente

t

alla curva di equazione

y = - 2 x^{3} + 4 x

nel punto

A

di ascissa

1

e verifica che esiste un'altra retta tangente alla curva parallela a

t

.

Determiniamo l'ordinata di

A

sostituendo

x = 1

nell'equazione della funzione, quindi

A (1;

________

)

.
Troviamo il coefficiente angolare della tangente, cioé la derivata in

x_{A}

.
Calcoliamo la derivata e troviamo il suo valore in

x = 1

:

f^{'} (x) = - 6 x^{2} + 4 \to f^{'} (1) =

________.
L'equazione della retta

t

tangente alla funzione nel punto

A

è:

y - 2 =

________

\cdot (x - 1) \to

y = - 2 x + 4

.
Detta

s

l'altra eventuale tangente, si ha

m_{s} = m_{t} = - 2

. Poniamo ________

= m_{s}

:

- 6 x^{2} + 4 =

________

\to

x^{2} = 1

\to

x = \pm 1

.
Quindi

s

è tangente alla curva nel punto di ascissa

x =

________.

Completamento chiuso

Retta tangente

Trova l'equazione della retta tangente alla funzione

f (x) = (3 x - 1)^{2}

nel suo punto di ascissa

1

.

________

Completamento chiuso

Retta normale

Scrivi l'equazione della retta normale al grafico di

y = - \frac{1}{3} x^{3}

nel suo punto di ascissa

1

.

Posto

f (x) = - \frac{1}{3} x^{3}

, determiniamo il valore di

f (x)

in

x = 1

:

f (1) = - \frac{1}{3}

.
Quindi il punto di tangenza è

P (1; - \frac{1}{3})

.
Calcoliamo la derivata di

f (x)

e il suo valore in ________:

f^{'} (x) =

________

\to

f^{'} (1) = - 1

.
Il coefficiente angolare della retta normale è

m =

________, quindi la retta ha equazione:

y + \frac{1}{3} =

________

\cdot (x - 1)

\to

y = x - \frac{4}{3}

.

Completamento chiuso

Studiare la derivabilità

Studia la derivabilità della seguente funzione.

y = {\begin{matrix} 6 x + 1 & se x < - 1 \\ - 3 x^{2} - 2 & se x \geq - 1 \end{matrix}

La funzione ha come dominio

R

. Inoltre, è continua e derivabile in ________.
Studiamo la continuità in

x = - 1

:

lim_{x \to - 1^{-}} (6 x + 1) = - 5

e

lim_{x \to - 1^{+}} (- 3 x^{2} - 2) =

________,
quindi la funzione è continua in

x = - 1

.
Calcoliamo la derivata:

f^{'} (x) = {\begin{matrix} 6 & se x < - 1 \\ - 6 x & se x > - 1 \end{matrix}

.
Calcoliamo le derivate sinistra e destra in

x = - 1

applicando il criterio di derivabilità e confrontiamo i valori:

f_{-}^{'} (- 1) = lim_{x \to - 1^{-}} 6 = 6

e

f_{+}^{'} (- 1) = lim_{x \to - 1^{+}} - 6 x =

________.
Poiché

f_{-}^{'} (- 1)

________

f_{+}^{'} (- 1)

,

f (x)

è derivabile in

x = - 1

.
Concludiamo che

f (x)

è derivabile in ________.

Completamento chiuso

Punti di non derivabilità

La funzione rappresentata dal grafico in figura ha:

A: un punto angoloso in

x = 7

.

B:

f_{-}^{'} (2) = - \infty

e

f_{+}^{'} (2) = + \infty

.

C: una cuspide in

x = 3

.

D:

f^{'} (5) = + \infty

.

Vero o falso

Trova per quale valore di

k

la curva di equazione

y = 2 x^{3} + k x^{2} - 3

ha nel punto di ascissa

1

come tangente la retta di coefficiente angolare

2

.

Posto

f (x) = 2 x^{3} + k x^{2} - 3

, troviamo il valore di

k

imponendo la condizione di tangenza:

f^{'} (1) = 2

.
Calcoliamo la derivata prima:

f^{'} (x) =

________.
Imponiamo la condizione di tangenza:
________

\to

k = - 2

.
Pertanto la funzione ha equazione:

y = 2 x^{3}

________

- 3

.

Completamento chiuso

Studiare la derivabilità

Studia la derivabilità della seguente funzione.

y = (2 - x)^{5}

La funzione ha come dominio ________ ed è anche continua su tutto il suo dominio.
Calcoliamo la derivata:

f^{'} (x) =

________.

f^{'} (x)

è definita in

R

, quindi

f (x)

è derivabile ________.

Completamento chiuso

Classificare i punti di non derivabilità

Data la funzione

y = {\begin{matrix} 2 x^{2} - x - 1 & se x \leq 1 \\ 3 x - 3 & se x > 1 \end{matrix}

, determina gli eventuali punti di non derivabilità deducendoli dal grafico e con i calcoli.

La funzione ha come dominio

R

. Inoltre è continua e derivabile in ________.
Studiamo la continuità in

x = 1

:

lim_{x \to 1^{-}} (2 x^{2} - x - 1) =

________ e

lim_{x \to 1^{+}} (3 x - 3) = 0

,
quindi la funzione è continua in

x = 1

.
Calcoliamo la derivata:

f^{'} (x) = {\begin{matrix} 4 x - 1 & se x < 1 \\ 3 & se x > 1 \end{matrix}

.
Calcoliamo le derivate sinistra e destra in

x = 1

applicando il criterio di derivabilità e confrontiamo i valori:

f_{-}^{'} (1) =

________

= 3

,

f_{+}^{'} (1) = lim_{x \to 1^{+}} 3 = 3

.
Poiché

f_{-}^{'} (1)

________

f_{+}^{'} (1)

,

f (x)

è derivabile in

x = 1

.
Concludiamo che

f (x)

è derivabile in ________.

Completamento chiuso

Applicazioni delle derivate alla fisica

Un corpo si muove in linea retta seguendo la legge oraria

s (t) = 4 t^{2} + t + 1

. Determina la velocità e l'accelerazione del corpo al variare del tempo e trova in quale istante la velocità è

17

m/s.

La velocità è la derivata della posizione rispetto al tempo:

v (t) = s^{'} (t) =

________

+ 1

.
L'accelerazione è la derivata della velocità rispetto al tempo:

a (t) = v^{'} (t) =

________.
Per determinare l'istante richiesto imponiamo

v (t) = 17

:
________

+ 1 = 17 \to t =

________.
Quindi la velocità è

17

m/s quando

t =

________ s.

Completamento chiuso